« Cristallographie géométrique/Groupes ponctuels de symétrie » : différence entre les versions

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système cubique
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=== Groupes cycliques ===
Un [[w:Groupe cyclique|groupe cyclique]] est un groupe généré à partir d'un élément ''a'' et qui ne contient comme autres éléments que des composées de ''a'' avec lui-même : ''a''{{exp|2}}, ''a''{{exp|3}}, etc. L'identité étant l'élément neutre de tout groupe, il existe un entier ''m'' tel que ''a''{{exp|''m''}}=1 : l'ordre d'un groupe cyclique est cet entier ''m''.
 
L'identité étant l'élément neutre de tout groupe, il existe un entier ''m'' tel que ''a''{{exp|''m''}}=1 : l'ordre d'un groupe cyclique est cet entier ''m''.
 
Dans l'exemple du groupe <math>\bar{3}1</math> précédent, il s'agit d'un groupe cyclique d'ordre 6 :
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Les opérations de symétrie compatibles avec le système triclinique sont l'identité et l'inversion. Le groupe généré par l'inversion constitue donc l'holoédrie triclinique et est noté <math>\bar{1}</math>. Il s'agit d'un groupe centrosymétrique et cyclique d'ordre 2. Sa seule mériédrie est l'hémiédrie triclinique formée par le groupe 1 de l'identité, groupe cyclique non centrosymétrique d'ordre 1.
 
Dans le système monoclinique, il peut y avoir au maximum un axe de rotation d'ordre 2 perpendiculaire à un plan miroir. L'holoédrie monoclinique est donc 2/''m''. Il s'agit d'un groupe centrosymétrique abélien non cyclique d'ordre 4. Le groupe 2/''m'' possède deux hémiédries dans le système monoclinique, qui sont des groupes cycliques non centrosymétriques d'ordre 2 : l'hémiédrie « holoaxe » monoclinique 2 et l'« antihémiédrie » monoclinique ''m''. Une hémiédrie holoaxe est une hémiédrie qui ne contient que des opérations de symétrie de première espèce ; une antihémiédrie contient des opérations de symétrie de seconde espèce. Les deux groupes 2 et ''m'' sont des groupes cycliques non centrosymétriques d'ordre 2.
 
Ci-dessous sont représentées les projections stéréographiques des groupes ponctuels tricliniques et monocliniques. Les notations de Schoenflies sont indiquées entre parenthèses.
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Dans le système orthorhombique, chaque direction de symétrie peut contenir au maximum un axe de rotation d'ordre 2 perpendiculaire à un plan miroir. L'holoédrie orthorhombique est donc 2/''m''&nbsp;2/''m''&nbsp;2/''m''. Comme deux réflexions de plans miroirs orthogonaux génèrent une rotation d'ordre 2, le groupe 2/''m''&nbsp;2/''m''&nbsp;2/''m'' est généralement noté sous sa forme raccourcie : ''mmm''. Il s'agit d'un groupe centrosymétrique abélien non cyclique d'ordre 8. Il possède deux hémiédries dans le système orthorhombique : l'hémiédrie holoaxe orthorhombique 222 et l'antihémiédrie orthorhombique ''mm''2, groupes abéliens non centrosymétriques et non cycliques d'ordre 4.
 
L'holoédrie tétragonale est 4/''m''&nbsp;2/''m''&nbsp;2/''m'', ou 4/''mmm'' en notation raccourcie. Il s'agit d'un groupe centrosymétrique non abélien d'ordre 16. Elle possède quatre hémiédries d'ordre 8 et deux tétardoédriestétartoédries d'ordre 4 dans le système tétragonal. La « parahémiédrie » tétragonale 4/''m'' est ainsi nommée car elle contient une rotation d'axe perpendiculaire à un plan miroir. Il s'agit d'un groupe centrosymétrique abélien non cyclique. Les trois autres hémiédries sont des groupes non centrosymétriques et non abéliens : l'hémiédrie holoaxe tétragonale 422, l'antihémiédrie à axe quaternaire 4''mm'' et l'antihémiédrie sphénoédrique <math>\bar{4}2m</math>, qui est identique, par rotation de 45° des directions <100>, au groupe <math>\bar{4}m2\,{}</math>. Les deux tétartoédries sont la tétartoédrie à axe quaternaire 4 et la tétartoédrie sphénoédrique <math>\bar{4}</math>, toutes deux groupes cycliques non centrosymétriques. Les mériédries sphénoédriques font référence à la forme créée par une anti-rotation d'ordre 4 sur un pôle général, le sphénoèdre (le tétraèdre est un sphénoèdre particulier dont tous les côtés ont la même longueur).
<center><gallery perrow="5" caption="Groupes ponctuels orthorhombiques et tétragonaux">
Image:222 point group.png|<math>222\,(D_2)</math>
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[[Image:6mmm point group.png|thumb|upright=0.6|<math>\frac{6}{m}\frac{2}{m}\frac{2}{m}\,(D_{6h})</math>]]
L'holoédrie hexagonale est 6/''m''&nbsp;2/''m''&nbsp;2/''m'', ou 6/''mmm'' en notation raccourcie. Il s'agit d'un groupe centrosymétrique non abélien d'ordre 24. Elle possède quatre hémiédries d'ordre 12 et deux tétardoédriestétartoédries d'ordre 6 dans le système trigonalcristallin hexagonal.
 
Trois hémiédries sont des groupes non centrosymétriques et non abéliens : l'hémiédrie holoaxe hexagonale 622, l'antihémiédrie à axe sénaire 6''mm'' et l'antihémiédrie trigonoédrique <math>\bar{6}m2</math>. Ce dernier groupe est identique au groupe ponctuel de symétrie <math>\bar{6}2m</math>. L'orientation des directions <100> a été choisie de façon à avoir la même position relative des plans miroirs que dans le groupe ponctuel trigonal 3''m'', ce qui facilite l'étude de la relation de groupe/sous-groupe entre ces deux groupes. La quatrième hémiédrie est la parahémiédrie à axe sénaire 6/''m'', qui est un groupe centrosymétrique abélien non cyclique.
 
Les deux tétartoédries hexagonales sont des groupes cycliques non centrosymétriques : la tétartoédrie à axe sénaire 6 et l'antitétartoédrie trigonoédrique <math>\bar{6}</math>.
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</gallery></center>
 
Tous les groupes ponctuels de symétrie cubiques sont non abéliens. L'holoédrie cubique est le groupe <math>4/m\,\bar{3}\,2/m</math>, de notation raccourcie <math>m\bar{3}m</math>. Ce groupe a été noté ''m''3''m'' dans le passé, ce qui ne faisait pas apparaître la présence de roto-inversions d'ordre 3. Il s'agit d'un groupe centrosymétrique d'ordre 48. L'holoédrie cubique possède trois antihémiédries d'ordre 24 et une tétartoédrie d'ordre 12 dans le système cubique. Deux hémiédries ne sont pas centrosymétriques : l'hémiédrie holoaxe cubique 432 et l'antihémiédrie cubique <math>\bar{4}3m</math>. La parahémiédrie cubique est centrosymétrique, il s'agit du groupe <math>2/m\,\bar{3}</math>, de notation raccourcie <math>m\bar{3}</math>. La tétartoédrie cubique 23 est un groupe non centrosymétrique.
=== Système cristallin cubique ===
<center><gallery perrow="5" caption="Groupes ponctuels cubiques">
{{...}}
Image:23 point group.png|<math>23\,(T)</math>
{| class="wikitable"
Image:m-3 point group.png|<math>\frac{2}{m}\bar{3}\,(T_h)</math>
! Classe<br/>cristalline !! Notation<br/>Schoenflies !! Ordre !! Nomenclature<br/>de Friedel !! Stéréogramme !! Propriétés
Image:432 point group.png|<math>432\,(O)</math>
|-
Image:-43m point group.png|<math>\bar{4}3m\,(T_d)</math>
| <math>\begin{array}{c}\displaystyle{\frac{4}{m}\bar{3}\frac{2}{m}} \\[2ex] \displaystyle{\left(m\bar{3}m\right)}\end{array}</math> || O{{ind|h}} || 48 || holoédrie || [[Image:m-3m point group.png|150px]]
Image:m-3m point group.png|<math>\frac{4}{m}\bar{3}\frac{2}{m}\,(O_h)</math>
|
</gallery></center>
* centrosymétrique
|-
| <math>\bar{4}3m</math> || T{{ind|d}} || 24 || antihémiédrie || [[Image:-43m point group.png|150px]]
|
* non centrosymétrique
|-
| <math>432\,</math> || O || 24 || hémiédrie<br/>holoaxe || [[Image:432 point group.png|150px]]
|
* non centrosymétrique
|-
| <math>\begin{array}{c}\displaystyle{\frac{2}{m}\bar{3}} \\[2ex] \displaystyle{\left(m\bar{3}\right)}\end{array}</math> || T{{ind|h}} || 24 || parahémiédrie || [[Image:m-3 point group.png|150px]]
|
* centrosymétrique
|-
| <math>23\,</math> || T || 12 || tétartoédrie || [[Image:23 point group.png|150px]]
|
* non centrosymétrique
|}
 
== Notes et références ==