« Cristallographie géométrique/Groupes ponctuels de symétrie » : différence entre les versions

Les opérations de symétrie ponctuelle d'un objet forment un groupe mathématique. Il existe en tout 10 groupes de symétrie ponctuelle compatibles avec les translations de réseau dans l'espace à deux dimensions et 32 dans l'espace à trois dimensions. Deux notations existent pour désigner les [[w:Groupe ponctuel de symétrie|groupes ponctuels de symétrie]], la [[w:Symboles de Hermann-Mauguin|notation de Hermann-Mauguin]], utilisée en cristallographie, et la [[w:Notation Schoenflies|notation de Schoenflies]], utilisée en chimie et en spectroscopie.

 

Les opérations de symétrie ponctuelle d'un objet, munies de la loi de composition • où ''a''•''b'' représente l'application de l'opération ''b'' suivie de l'opération ''a'', forment un groupe. Ce groupe possède donc les propriétés suivantes :

* la composition de deux opérations de symétrie ponctuelle d'un groupe est une opération de symétrie ponctuelle qui est aussi membre du groupe : le groupe est clos ;

Cette définition d'un groupe ponctuel de symétrie est générale et ne se limite pas aux opérations de symétrie compatibles avec les translations de réseau.

 

Afin de visualiser l'ensemble des éléments ''g''{{ind|''i''}} d'un groupe ponctuel de symétrie '''G''', ou de vérifier que le groupe '''G''' est clos, il est souvent pratique d'utiliser sa table de multiplication, écrite sous forme de tableau dont les éléments sont toutes les composées des éléments ''g''{{ind|''i''}} et ''g''{{ind|''j''}} du groupe. Comme '''G''' est un groupe, tous les éléments du tableau sont des éléments de '''G'''.

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Lors de la construction de la table de multiplication d'un groupe, chaque élément du groupe doit apparaître dans chaque ligne et chaque colonne du tableau, et ceci une seule fois par ligne et par colonne.

 

La notation de Hermann-Mauguin est une notation « orientée » : le symbole du groupe contient les éléments de symétrie qui sont contenus dans chaque direction de symétrie, dans l'ordre suivant :

* 1{{ère}} direction de symétrie ;

Nous utiliserons par la suite principalement la notation de Hermann-Mauguin, celle de Schoenflies sera éventuellement donnée à titre indicatif.

 

L'ordre d'un groupe ponctuel de symétrie est le nombre d'éléments que ce groupe contient. Il faut ici faire attention à ne pas confondre cette notion avec celle de l'ordre d'une opération de rotation ou de roto-inversion.

 

C'est l'ordre du groupe généré par une opération de symétrie qui détermine le degré de symétrie de l'opération, et pas l'ordre de l'opération lui-même. Par exemple, l'ordre du groupe généré par la roto-inversion d'ordre 4 est 4, alors que l'ordre du groupe généré par la roto-inversion d'ordre 3 est 6 : la roto-inversion d'ordre 3 possède un degré de symétrie plus élevée que la roto-inversion d'ordre 4.

 

Les groupes ponctuels de symétrie peuvent être représentés en utilisant la [[Cristallographie géométrique/Projection stéréographique|projection stéréographique]] des éléments de symétrie attachés aux opérations de symétrie. Le point d'intersection commun à tous les éléments de symétrie est placé au centre de la sphère de projection. La première direction de symétrie est choisie comme l'axe nord-sud de la sphère de projection et est donc perpendiculaire au plan de la projection. Les autres directions de symétrie sont indiquées par un trait en dehors du disque de projection, ou à l'intérieur dans les cas où elles ne sont pas perpendiculaires à la première direction de symétrie. Par convention dans les systèmes réticulaires orthorhombique, tétragonal, hexagonal et cubique, la direction [010] (''b'') est choisie horizontale et pointant vers la droite dans le plan de projection. Dans le système monoclinique, [010] étant l'unique direction de symétrie, elle est choisie perpendiculaire au plan de projection et la direction [001] est alors la direction horizontale.

 

Il est également possible d'indiquer l'action des opérations de symétrie du groupe sur un pôle quelconque, comme dans l'image d) ci-dessus. Lorsque le pôle est choisi en position générale, le nombre total de pôles générés par toutes les opérations de symétrie du groupe, incluant le pôle de départ (généré par l'identité), est égal à l'ordre du groupe. La projection stéréographique permet donc de retrouver facilement l'ordre d'un groupe et de vérifier visuellement une table de multiplication.

 

Un [[w:Groupe cyclique|groupe cyclique]] est un groupe généré à partir d'un élément ''a'' et qui ne contient comme autres éléments que des composées de ''a'' avec lui-même : ''a''{{exp|2}}, ''a''{{exp|3}}, etc.

 

Un groupe cyclique est toujours abélien. La réciproque n'est pas vraie : tout groupe abélien n'est pas forcément cyclique.

 

Chaque groupe '''G''' possède deux sous-groupes triviaux : le groupe lui-même et celui ne contenant que l'identité. Les sous-groupes '''H'''{{ind|''i''}} d'un groupe '''G''' ont une symétrie inférieure à celle de '''G''', sauf dans le cas du sous-groupe trivial '''G'''. En particulier, le système cristallin attaché à un sous-groupe peut être différent de celui du groupe.

 

* Une « ogdoédrie » est une mériédrie d'ordre égal au huitième de l'ordre de l'holoédrie.

 

Le concept de « classe cristalline » permet de regrouper les [[Cristallographie géométrique/Groupes d'espace|groupes d'espace]] qui possèdent des propriétés de symétrie similaires. Les groupes d'espace seront vus dans un chapitre dédié ; l'introduction des classes cristallines est faite ici pour une description complète des groupes ponctuels de symétrie dans les sections suivantes.

 

La nomenclature de Friedel est indiquée dans les listes des groupes ponctuels de symétrie ci-dessous. Celle de Groth sera vue dans le chapitre sur la [[Cristallographie géométrique/Morphologie des cristaux|morphologie des cristaux]].

 

{{...}}<!-- holoédrie, hémiédrie, ... -->

<gallery perrow="5">

</gallery>

 

Les groupes ponctuels de symétrie dans l'espace tridimensionnel sont au nombre de 32 :

* 2 dans le système cristallin triclinique ;

* 5 dans le système cristallin cubique.

 

Les opérations de symétrie compatibles avec le système triclinique sont l'identité et l'inversion. Le groupe généré par l'inversion constitue donc l'holoédrie triclinique ; sa seule mériédrie est l'hémiédrie triclinique formée par le groupe de l'identité.

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Dans le système monoclinique, il peut y avoir au maximum un axe de rotation d'ordre 2 perpendiculaire à un plan miroir. L'holoédrie monoclinique est donc 2/''m'' et possède deux hémiédries dans le système monoclinique, l'hémiédrie « holoaxe » 2 et l'« antihémiédrie » ''m''. Une hémiédrie holoaxe est une hémiédrie qui ne contient que des opérations de symétrie de première espèce ; une antihémiédrie contient des opérations de symétrie de seconde espèce.

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Dans le système orthorhombique, chaque direction de symétrie peut contenir au maximum un axe de rotation d'ordre 2 perpendiculaire à un plan miroir. L'holoédrie orthorhombique est donc 2/''m''&nbsp;2/''m''&nbsp;2/''m''. Comme deux réflexions de plans miroirs orthogonaux génèrent une rotation d'ordre 2, le groupe 2/''m''&nbsp;2/''m''&nbsp;2/''m'' est généralement noté sous sa forme raccourcie : ''mmm''.

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L'holoédrie tétragonale est 4/''mmm''. Elle possède quatre hémiédries et deux tétardoédries dans le système tétragonal. La « parahémiédrie » 4/''m'' est ainsi nommée car elle contient une rotation d'axe perpendiculaire à un plan miroir. Les mériédries sphénoédriques font référence à la forme créée par une anti-rotation d'ordre 4 sur un pôle général, le sphénoèdre (le tétraèdre est un sphénoèdre particulier dont tous les côtés ont la même longueur). D'autre part, les groupes ponctuels de symétrie <math>\bar{4}2m\,{}</math> et <math>\bar{4}m2\,{}</math> sont identiques.

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Pour le système cristallin trigonal, l'ordre de rotation ou roto-inversion le plus élevé est 3 : l'holoédrie est <math>\bar{3}m</math>. Cependant, il s'agit aussi d'une hémiédrie d'un groupe ponctuel hexagonal. Pour cette raison, deux possibilités existent pour chaque groupe ponctuel de symétrie dans la nomenclature de Friedel, listées dans le tableau ci-dessous. Les stéréogrammes des groupes sont donnés avec les axes du réseau hexagonal et non rhomboédrique ; ce choix des axes ne change bien sûr pas la position des éléments de symétrie.

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