« Approfondissements de lycée/Premiers » : différence entre les versions
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===Introduction===
Un nombre premier (ou premier en abrégé) est un nombre entier qui
Les 20 premiers nombres premiers sont :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71.
Les nombres premiers sont une source sans fin de fascination pour les mathématiciens. Certains des problèmes concernant les nombres premiers sont si difficiles que même
====Signification géométrique des nombres premiers====
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====Théorème fondamental de l'arithmétique====
Un '''théorème''' est un fait mathématique non-évident (on dit aussi non-trivial). Un théorème doit être démontré ; une proposition qui est généralement reconnue comme vraie, mais sans démonstration, est appelée
Avec ces définitions posées, le théorème fondamental de l'arithmétique énonce simplement que :
::''Tout nombre entier
Par exemple
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'''''Réfléchir à cela'''''
:''Garder à l'esprit la définition du théorème fondamental de l'arithmétique, pourquoi le nombre 1 n'est-il pas considéré comme premier ?''
===Décomposition===
Nous savons, à partir du théorème fondamental de l'arithmétique que tout nombre entier peut être exprimé comme un produit de nombres premiers. La question
Si ''x'' est un petit nombre, c'est facile. Par exemple 90 = 2 x 3 x 3 x 5. Mais si ''x'' est grand ? Par exemple ''x = 4539'' ? La plupart des gens ne peuvent pas décomposer 4539 en facteurs premiers dans leurs têtes. Mais un ordinateur le peut-il ? Oui, un ordinateur peut décomposer 4539 instantanément. En fait, 4539 = 3 x 17 x 89.
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Il existe une manière ''facile'' de décomposer un nombre en facteurs premiers. En appliquant simplement la méthode décrite ci-dessus (en utilisant un ordinateur). Mais la méthode ci-dessus est trop lente pour les grands nombres : essayer de décomposer un nombre avec des milliers de chiffres prendrait plus de temps que l'age actuel de l'univers. Mais existe-t'il une manière ''rapide'' ? Ou plus précisément, existe-t'il une manière ''efficiente'' ? Cela se peut, mais personne ne l'a encore trouvée. Certains des schémas de cryptologie les plus largement utilisés aujourd'hui (tel que le RSA) utilisent le fait que nous ne pouvons pas décomposer des grands nombres en facteurs premiers rapidement. Si une telle méthode est trouvée, 90 % des transactions sur internet seront non sécurisées. Donc, s'il vous arrive de découvrir une telle méthode, ne soyez pas trop empressé de la publier, consultez votre ministère de sécurité nationale avant !
Avec les
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===Infinité des nombres premiers===
Nous savons que certains nombres peuvent être décomposés en nombres premiers. Certains ont seulement eux-mêmes comme nombre premier, parcequ'ils sont premiers. Donc, combien de nombres premiers existe-t'il ? Il en existe une infinité ! Voici une démonstration classique de l'infinité des nombres premiers datant de plus de 2 000 ans et due au mathématicien grec Euclide :
====Démonstration de l'infinité des nombres premiers====
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