« Cristallographie géométrique/Calculs dans les réseaux » : différence entre les versions
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→Variables covariantes : correction |
m →Bases d'origine commune : retouches, précision |
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Ligne 241 :
En utilisant la matrice de passage '''M''', on peut écrire
:<math>\mathbf{r} = {}^t\mathbf{X}_2 \mathbf{M} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \\ \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{c}_1 \end{bmatrix} = {}^t\mathbf{X}_1 \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \\ \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{c}_1 \end{bmatrix},</math>
soit
soit {{exp|''t''}}'''X'''{{ind|2}}'''M'''={{exp|''t''}}'''X'''{{ind|1}}. En appliquant '''M'''{{exp|−1}} à droite des deux membres de l'égalité, on obtient finalement▼
:<math>{}^t\mathbf{X}_2 \mathbf{M} = {}^t\mathbf{X}_1.</math>
▲
:<math>{}^t\mathbf{X}_2 = {}^t\mathbf{X}_1 \mathbf{M}^{-1}.</math>
Les indices d'une rangée et les composantes d'un vecteur se transforment comme les coordonnées :
Ligne 264 ⟶ 266 :
En utilisant l'expression des vecteurs de base réciproques de la base 2 en fonction de ceux de la base 1, on peut écrire
:<math>\mathbf{r}^* = {}^t\mathbf{X}_2^* ({}^t\mathbf{M})^{-1} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1^* \\ \mathbf{b}_1^* \\ \mathbf{c}_1^* \end{bmatrix} = {}^t\mathbf{X}_1^* \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1^* \\ \mathbf{b}_1^* \\ \mathbf{c}_1^* \end{bmatrix}</math>
soit
soit {{exp|''t''}}'''X'''{{exp|*}}{{ind|2}}({{exp|''t''}}'''M'''){{exp|−1}}={{exp|''t''}}'''X'''{{exp|*}}{{ind|1}}. En appliquant {{exp|''t''}}'''M''' à droite des deux membres de l'égalité, on obtient finalement▼
:<math>{}^t\mathbf{X}_2^* ({}^t\mathbf{M})^{-1} = {}^t\mathbf{X}_1^*.</math>
▲
:<math>\begin{array}{ccc} {}^t\mathbf{X}_2^* = {}^t\mathbf{X}_1^* {}^t\mathbf{M}, & & \mathbf{X}_2^* = \mathbf{M} \mathbf{X}_1^*. \end{array}</math>
{{Cadre définition|titre=Généralisation|contenu=Toute variable covariante se transforme par l'application de '''M'''.|cbord=#B00922|cfondtitre=#FDC8D0|cfondtexte=#FBF0F2}}
En particulier, le vecteur primitif de la rangée réciproque [''hkl'']{{exp|*}} normale à un plan direct (''hkl'') étant une variable covariante, les indices d'un plan réticulaire se transforment par l'application de la matrice de passage '''M'''.
==== Applications linéaires : matrices ====
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