« Cristallographie géométrique/Calculs dans les réseaux » : différence entre les versions
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Ligne 237 :
où '''X''' est le vecteur des coordonnées :
:<math>\mathbf{X} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}.</math>
'''X''' est une variable contravariante puisqu'elle s'exprime dans la base
En utilisant la matrice de passage '''M''', on peut écrire
Ligne 250 :
{{Cadre définition|titre=Généralisation|contenu=Toute variable contravariante se transforme par l'application de ({{exp|''t''}}'''M'''){{exp|−1}}.|cbord=#B00922|cfondtitre=#FDC8D0|cfondtexte=#FBF0F2}}
==== Variables covariantes ====
D'après la transformation des tenseurs métriques réciproques par changement de base, on voit que les vecteurs de base réciproques des bases 1 et 2 sont reliés par
:<math>\begin{array}{ccc}
\begin{bmatrix} \mathbf{a}_2^* \\ \mathbf{b}_2^* \\ \mathbf{c}_2^* \end{bmatrix} = ({}^t\mathbf{M})^{-1} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1^* \\ \mathbf{b}_1^* \\ \mathbf{c}_1^* \end{bmatrix}, & & \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1^* \\ \mathbf{b}_1^* \\ \mathbf{c}_1^* \end{bmatrix} = {}^t\mathbf{M} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_2^* \\ \mathbf{b}_2^* \\ \mathbf{c}_2^* \end{bmatrix}.
\end{array}</math>
Le vecteur position '''r'''{{exp|*}} d'un point X{{exp|*}} de l'espace réciproque s'écrit dans les deux bases réciproques
:<math>\begin{array}{ccc}
\mathbf{r}^* = \begin{bmatrix} x_1^* & y_1^* & z_1^* \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1^* \\ \mathbf{b}_1^* \\ \mathbf{c}_1^* \end{bmatrix} = {}^t\mathbf{X}_1^* \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1^* \\ \mathbf{b}_1^* \\ \mathbf{c}_1^* \end{bmatrix}, & & \mathbf{r}^* = \begin{bmatrix} x_2^* & y_2^* & z_2^* \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_2^* \\ \mathbf{b}_2^* \\ \mathbf{c}_2^* \end{bmatrix} = {}^t\mathbf{X}_2^* \begin{bmatrix} \mathbf{a}_2^* \\ \mathbf{b}_2^* \\ \mathbf{c}_2^* \end{bmatrix}.
\end{array}</math>
'''X'''{{exp|*}} est une variable covariante puisqu'elle s'exprime dans la base de l'espace réciproque.
En utilisant l'expression des vecteurs de base réciproques de la base 2 en fonction de ceux de la base 1, on peut écrire
:<math>\mathbf{r}^* = {}^t\mathbf{X}_2^* ({}^t\mathbf{M})^{-1} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1^* \\ \mathbf{b}_1^* \\ \mathbf{c}_1^* \end{bmatrix} = {}^t\mathbf{X}_1^* \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1^* \\ \mathbf{b}_1^* \\ \mathbf{c}_1^* \end{bmatrix}</math>
soit {{exp|''t''}}'''X'''{{exp|*}}{{ind|2}}({{exp|''t''}}'''M'''){{exp|−1}}={{exp|''t''}}'''X'''{{exp|*}}{{ind|1}}. En appliquant {{exp|''t''}}'''M''' à droite des deux membres de l'égalité, on obtient finalement
:<math>\begin{array}{ccc} {}^t\mathbf{X}_2^* = {}^t\mathbf{X}_1^* ({}^t\mathbf{M})^{-1}, & & \mathbf{X}_2^* = \mathbf{M}^{-1} \mathbf{X}_1^*. \end{array}</math>
{{Cadre définition|titre=Généralisation|contenu=Toute variable covariante se transforme par l'application de '''M'''{{exp|−1}}.|cbord=#B00922|cfondtitre=#FDC8D0|cfondtexte=#FBF0F2}}
==== Applications linéaires : matrices ====
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