Différences entre les versions de « Cristallographie géométrique/Calculs dans les réseaux »

→‎Bases d'origine commune : cette fois ça devrait être bon
(→‎Bases d'origine commune : cette fois ça devrait être bon)
'''M''' est donc la matrice de passage de l'ancienne base vers la nouvelle base. Le changement de base inverse s'écrit à l'aide de la matrice de passage inverse '''M'''{{exp|−1}} :
:<math>\begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \\ \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{c}_1 \end{bmatrix} = \mathbf{M}^{-1} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_2 \\ \mathbf{b}_2 \\ \mathbf{c}_2 \end{bmatrix}.</math>
 
==== Tenseur métrique direct et réciproque ====
Le tenseur métrique direct de la base 2 est
:<math>\mathbf{G}_2 = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{a}_2 & \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{b}_2 & \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{c}_2 \\ \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{b}_2 & \mathbf{b}_2 \cdot \mathbf{b}_2 & \mathbf{b}_2 \cdot \mathbf{c}_2 \\ \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{c}_2 & \mathbf{b}_2 \cdot \mathbf{c}_2 & \mathbf{c}_2 \cdot \mathbf{c}_2 \end{bmatrix}.</math>
En posant '''e'''{{ind|1,1}}='''a'''{{ind|1}}, '''e'''{{ind|1,2}}='''b'''{{ind|1}}, '''e'''{{ind|1,3}}='''c'''{{ind|1}}, '''e'''{{ind|2,1}}='''a'''{{ind|2}}, '''e'''{{ind|2,2}}='''b'''{{ind|2}} et '''e'''{{ind|2,3}}='''c'''{{ind|2}}, une composante '''G'''{{ind|2,''ij''}} de '''G'''{{ind|2}} s'écrit en fonction des vecteurs de l'ancienne base 1 comme :
:<math>\begin{array}{rcl}
\mathbf{G}_{2,ij} & = & \displaystyle{\mathbf{e}_{2,i} \cdot \mathbf{e}_{2,j} = \left( \sum_{k=1}^3 \mathbf{M}_{ki} \mathbf{e}_{1,i} \right) \cdot \left( \sum_{l=1}^3 \mathbf{M}_{lj} \mathbf{e}_{1,j} \right)} \\[3ex]
& = & \displaystyle{\sum_{k=1}^3 \sum_{l=1}^3 \mathbf{M}_{ki} \mathbf{e}_{1,i} \cdot \mathbf{e}_{1,j} \mathbf{M}_{lj} = \sum_{k=1}^3 \sum_{l=1}^3 \mathbf{M}_{ki} G_{1,ij} \mathbf{M}_{lj} = \sum_{k=1}^3 \sum_{l=1}^3 \mathbf{M}_{ki} G_{1,ij} {}^t\mathbf{M}_{jl}}
\end{array}</math>
La transformation du tenseur métrique direct par le changement de base est donc
:<math>\mathbf{G}_2 = \mathbf{M} \mathbf{G}_1 {}^t\mathbf{M}.</math>
Le même raisonnement en partant de '''G'''{{ind|1}} conduit à
:<math>\mathbf{G}_1 = \mathbf{M}^{-1} \mathbf{G}_2 ({}^t\mathbf{M})^{-1}.</math>
 
Le tenseur métrique réciproque de la base 2 est
:<math>\mathbf{G}_2^* = \mathbf{G}_2^{-1} = (\mathbf{M} \mathbf{G}_1 {}^t\mathbf{M})^{-1} = {}^t\mathbf{M}^{-1} \mathbf{G}_1^{-1} \mathbf{M}^{-1} = {}^t\mathbf{M}^{-1} \mathbf{G}_1^* \mathbf{M}^{-1}</math>
et celui de la base 1 est
:<math>\mathbf{G}_1^* = {}^t\mathbf{M} \mathbf{G}_2* \mathbf{M}.</math>
 
Les tenseurs métriques direct et réciproque ne se transforment pas de la même façon lors d'un changement de base. De même, les variables qui leur sont associées se comportent différemment.
{{définition|définition=Une variable « contravariante » est une variable exprimée dans la base du réseau direct.<br/>Une variable « covariante » est une variable exprimée dans la base du réseau réciproque.}}
 
==== Coordonnées, vecteurs, rangées ====
\mathbf{r} = \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \\ \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{c}_1 \end{bmatrix} = {}^t\mathbf{X}_1 \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \\ \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{c}_1 \end{bmatrix}, & & \mathbf{r} = \begin{bmatrix} x_2 & y_2 & z_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_2 \\ \mathbf{b}_2 \\ \mathbf{c}_2 \end{bmatrix} = {}^t\mathbf{X}_2 \begin{bmatrix} \mathbf{a}_2 \\ \mathbf{b}_2 \\ \mathbf{c}_2 \end{bmatrix}
\end{array}</math>
où '''X''' est le vecteur des coordonnées : <math>\mathbf{X} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}.</math>
:<math>\mathbf{X} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}.</math>
'''X''' est une variable contravariante puisqu'elle s'exprime dans la base du réseau direct.
 
En utilisant la matrice de passage '''M''', on peut écrire
:<math>\mathbf{X}_2 = ({}^t\textbf{M})^{-1} \mathbf{X}_1.</math>
 
{{Cadre définition|titre=Généralisation|contenu=Toute variable contravariante se transforme par l'application de ({{exp|''t''}}'''M'''){{exp|−1}}. Toute variable covariante se transforme par l'application de ('''M'''){{exp|−1}}.|cbord=#91283BB00922|cfondtitre=#FBACB8FDC8D0|cfondtexte=#F7DFE3FBF0F2}}
L'écriture du vecteur des coordonnées en colonne s'appelle « écriture contravariante », celle en ligne « écriture covariante ».
{{Cadre définition|titre=Généralisation|contenu=Toute variable contravariante se transforme par l'application de ({{exp|''t''}}'''M'''){{exp|−1}}. Toute variable covariante se transforme par l'application de ('''M'''){{exp|−1}}.|cbord=#91283B|cfondtitre=#FBACB8|cfondtexte=#F7DFE3}}
 
==== Tenseur métrique ====
Le tenseur métrique de la base 2 est
:<math>\mathbf{G}_2 = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{a}_2 & \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{b}_2 & \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{c}_2 \\ \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{b}_2 & \mathbf{b}_2 \cdot \mathbf{b}_2 & \mathbf{b}_2 \cdot \mathbf{c}_2 \\ \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{c}_2 & \mathbf{b}_2 \cdot \mathbf{c}_2 & \mathbf{c}_2 \cdot \mathbf{c}_2 \end{bmatrix}.</math>
En posant '''e'''{{ind|1,1}}='''a'''{{ind|1}}, '''e'''{{ind|1,2}}='''b'''{{ind|1}}, '''e'''{{ind|1,3}}='''c'''{{ind|1}}, '''e'''{{ind|2,1}}='''a'''{{ind|2}}, '''e'''{{ind|2,2}}='''b'''{{ind|2}} et '''e'''{{ind|2,3}}='''c'''{{ind|2}}, une composante '''G'''{{ind|2,''ij''}} de '''G'''{{ind|2}} s'écrit en fonction des vecteurs de l'ancienne base 1 comme :
:<math>\begin{array}{rcl}
\mathbf{G}_{2,ij} & = & \displaystyle{\mathbf{e}_{2,i} \cdot \mathbf{e}_{2,j} = \left( \sum_{k=1}^3 \mathbf{M}_{ki} \mathbf{e}_{1,i} \right) \cdot \left( \sum_{l=1}^3 \mathbf{M}_{lj} \mathbf{e}_{1,j} \right)} \\[3ex]
& = & \displaystyle{\sum_{k=1}^3 \sum_{l=1}^3 \mathbf{M}_{ki} \mathbf{e}_{1,i} \cdot \mathbf{e}_{1,j} \mathbf{M}_{lj} = \sum_{k=1}^3 \sum_{l=1}^3 \mathbf{M}_{ki} G_{1,ij} \mathbf{M}_{lj} = \sum_{k=1}^3 \sum_{l=1}^3 \mathbf{M}_{ki} G_{1,ij} {}^t\mathbf{M}_{jl}}
\end{array}</math>
La transformation du tenseur métrique par le changement de base est donc
:<math>\mathbf{G}_2 = \mathbf{M} \mathbf{G}_1 {}^t\mathbf{M}.</math>
Le même raisonnement en partant de '''G'''{{ind|1}} conduit à
:<math>\mathbf{G}_1 = \mathbf{M}^{-1} \mathbf{G}_2 ({}^t\mathbf{M})^{-1}.</math>
 
==== Applications linéaires : matrices ====