Différences entre les versions de « Cristallographie géométrique/Calculs dans les réseaux »

→‎Coordonnées, vecteurs, rangées : variables covariantes et contravariantes
(→‎Bases d'origine commune : retouches, réécriture de "Coordonnées, vecteurs, rangées")
(→‎Coordonnées, vecteurs, rangées : variables covariantes et contravariantes)
\mathbf{r} = \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \\ \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{c}_1 \end{bmatrix} = {}^t\mathbf{X}_1 \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \\ \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{c}_1 \end{bmatrix}, & & \mathbf{r} = \begin{bmatrix} x_2 & y_2 & z_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_2 \\ \mathbf{b}_2 \\ \mathbf{c}_2 \end{bmatrix} = {}^t\mathbf{X}_2 \begin{bmatrix} \mathbf{a}_2 \\ \mathbf{b}_2 \\ \mathbf{c}_2 \end{bmatrix}
\end{array}</math>
où '''X''' est le vecteur des coordonnées : <math>\mathbf{X} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}.</math>
 
:<math>\mathbf{X} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}.</math>
En utilisant la matrice de passage '''M''', on peut écrire
:<math>\mathbf{r} = {}^t\mathbf{X}_2 \mathbf{M} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \\ \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{c}_1 \end{bmatrix} = {}^t\mathbf{X}_1 \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \\ \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{c}_1 \end{bmatrix},</math>
soit {{exp|''t''}}'''X'''{{ind|2}}'''M'''={{exp|''t''}}'''X'''{{ind|1}}. En appliquant '''M'''{{exp|−1}} à droite des deux membres de l'égalité, on obtient finalement
soit
:<math>{}^t\mathbf{X}_2 \mathbf{M} = {}^t\mathbf{X}_1.</math>
En appliquant '''M'''{{exp|−1}} à droite des deux membres de l'égalité, on obtient finalement
:<math>{}^t\mathbf{X}_2 = {}^t\mathbf{X}_1 \mathbf{M}^{-1}.</math>
Les indices d'une rangée et les composantes d'un vecteur se transforment comme les coordonnées :
Lorsque les coordonnées sont écrites en colonnes plutôt qu'en lignes, on obtient
:<math>\mathbf{X}_2 = ({}^t\textbf{M})^{-1} \mathbf{X}_1.</math>
 
L'écriture du vecteur des coordonnées en ligne s'appelle « écriture contravariante », celle en colonne « écriture covariante ».
{{Cadre définition|titre=Généralisation|contenu=Toute variable covariante se transforme par l'application de ({{exp|''t''}}'''M'''){{exp|−1}}. Toute variable contravariante se transforme par l'application de ('''M'''){{exp|−1}}.
|cbord=#91283B|cfondtitre=#FBACB8|cfondtexte=#F7DFE3}}
 
==== Tenseur métrique ====