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« Cristallographie géométrique/Calculs dans les réseaux » : différence entre les versions

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→‎Bases d'origine commune : changement de convention pour M
→‎Bases d'origine commune : retouches, réécriture de "Coordonnées, vecteurs, rangées"
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Soit point X de coordonnées (''x''{{ind|1}},''y''{{ind|1}},''z''{{ind|1}}) dans la base 1 et (''x''{{ind|2}},''y''{{ind|2}},''z''{{ind|2}}) dans la base 2. Son vecteur position '''r''' s'écrit dans les deux bases :
:<math>\begin{array}{ccc}
\mathbf{r} = \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \\ \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{c}_1 \end{bmatrix} = {}^t\mathbf{X}_1 \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \\ \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{c}_1 \end{bmatrix}, & & \mathbf{r} = \begin{bmatrix} x_2 & y_2 & z_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_2 \\ \mathbf{b}_2 \\ \mathbf{c}_2 \end{bmatrix}. = {}^t\mathbf{X}_2 \begin{bmatrix} \mathbf{a}_2 \\ \mathbf{b}_2 \\ \mathbf{c}_2 \end{bmatrix}
\end{array}</math>
où '''X''' est le vecteur des coordonnées :
:<math>\mathbf{X} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}.</math>
En utilisant la matrice de passage '''M''', on peut écrire
:<math>\mathbf{r} = \begin{bmatrix} x_2 & y_2 & z_2 ^t\endmathbf{bmatrixX}_2 \mathbf{M} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \\ \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{c}_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & z_1 ^t\endmathbf{bmatrixX}_1 \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \\ \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{c}_1 \end{bmatrix},</math>
soit
:<math>\mathbf{r} = ^t\beginmathbf{bmatrix} x_2 & y_2 & z_2 \end{bmatrixX}_2 \mathbf{M} = \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & z_1 ^t\endmathbf{bmatrixX}_1.</math>
En multipliant les deux membres de l'égalité parappliquant '''M'''{{exp|−1}} à droite des deux membres de l'égalité, on obtient finalement
:<math>\begin{bmatrix} x_2 & y_2 & z_2 ^t\endmathbf{bmatrixX}_2 = \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & z_1 ^t\endmathbf{bmatrixX}_1 \mathbf{M}^{-1}.</math>
Les indices d'une rangée et les composantes d'un vecteur se transforment comme les coordonnées :
:<math>\begin{bmatrix} u_2 & v_2 & w_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_1 & v_1 & w_1 \end{bmatrix} \mathbf{M}^{-1}.</math>
 
Lorsque les coordonnées sont écrites en colonnes plutôt qu'en lignes, on obtient
:<math>\beginmathbf{bmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{bmatrixX}_2 = ({}^t\textbf{M})^{-1} \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \endmathbf{bmatrixX}_1.</math>
 
==== Tenseur métrique ====
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==== Applications linéaires : matrices ====
Soit une application linéaire ''f'' qui associe à tout point X de l'espace tridimensionnel, repéré par le vecteur '''X''', un point X' repéré par le vecteur '''X'''<nowiki>'</nowiki>. Cette application peut par exemple être une opération de symétrie. Elle est représentée par la matrice '''A''' dans la base 1. La matrice de ''f'' dans la base 2 est notée '''B'''. Les coordonnées du point X' s'obtiennent dans les deux bases par les relations matricielles suivantes :
:<math>\begin{array}{ccc} \mathbf{X}'_1 = \textbf{A} \mathbf{X}_1, & & \mathbf{X}'_2 = \textbf{B} \mathbf{X}_2. \end{array}</math>
Connaissant la transformation des coordonnées par le changement de base de 1 vers 2, on peut écrire
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