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→‎Bases d'origine commune : changement de convention pour M
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==== Matrice de passage ====
Un changement de la base {'''a'''{{ind|1}}, '''b'''{{ind|1}}, '''c'''{{ind|1}}} vers la base {'''a'''{{ind|2}}, '''b'''{{ind|2}}, '''c'''{{ind|2}}} s'effectue à l'aide de la [[:w:Matrice de passage|matrice de passage]] '''M''', définie de la façon suivante :
:<math>\begin{bmatrix} \mathbf{a}_1_2 \\ \mathbf{b}_1_2 \\ \mathbf{c}_1_2 \end{bmatrix} = \mathbf{M} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_2_1 \\ \mathbf{b}_2_1 \\ \mathbf{c}_2_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{M}_{11} & \mathbf{M}_{12} & \mathbf{M}_{13} \\ \mathbf{M}_{21} & \mathbf{M}_{22} & \mathbf{M}_{23} \\ \mathbf{M}_{31} & \mathbf{M}_{32} & \mathbf{M}_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_2_1 \\ \mathbf{b}_2_1 \\ \mathbf{c}_2_1 \end{bmatrix}.</math>
 
Par convention, laLa matrice de passage '''M''' contient dans chaque colonne les composantes des vecteurs l'anciennede la nouvelle base 12 exprimées dans la nouvellel'ancienne base 21 :
:<math>\begin{array}{rcl}
\mathbf{a}_1_2 & = & \mathbf{M}_{11} \mathbf{a}_2 + \mathbf{M}_{12} \mathbf{b}_2 + \mathbf{M}_{13} \mathbf{c}_2_1, \\
\mathbf{b}_1_2 & = & \mathbf{M}_{21} \mathbf{a}_2 + \mathbf{M}_{22} \mathbf{b}_2 + \mathbf{M}_{23} \mathbf{c}_2_1, \\
\mathbf{c}_1_2 & = & \mathbf{M}_{31} \mathbf{a}_2 + \mathbf{M}_{32} \mathbf{b}_2 + \mathbf{M}_{33} \mathbf{c}_2_1.
\end{array}</math>
'''M''' est donc la matrice de passage de la nouvelle base vers l'ancienne base. Envers pratique,la ilnouvelle estbase. plus utile de considérer leLe changement de base inverse, qui s'écrit à l'aide de la matrice de passage inverse '''M'''{{exp|−1}} :
:<math>\begin{bmatrix} \mathbf{a}_2_1 \\ \mathbf{b}_2_1 \\ \mathbf{c}_2_1 \end{bmatrix} = \mathbf{M}^{-1} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1_2 \\ \mathbf{b}_1_2 \\ \mathbf{c}_1_2 \end{bmatrix}.</math>
 
==== Coordonnées, vecteurs, rangées ====
\end{array}</math>
En utilisant la matrice de passage '''M''', on peut écrire
:<math>\mathbf{r} = \begin{bmatrix} x_2 & y_2 & z_2 \end{bmatrix} \mathbf{M}^{-1} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \\ \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{c}_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \\ \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{c}_1 \end{bmatrix},</math>
soit
:<math>\mathbf{r} = \begin{bmatrix} x_2 & y_2 & z_2 \end{bmatrix} \mathbf{M}^{-1} = \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \end{bmatrix}.</math>
En multipliant les deux membres de l'égalité par '''M'''{{exp|−1}} à droite, on obtient finalement
:<math>\begin{bmatrix} x_2 & y_2 & z_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \end{bmatrix} \mathbf{M}^{-1}.</math>
Les indices d'une rangée et les composantes d'un vecteur se transforment comme les coordonnées :
:<math>\begin{bmatrix} u_2 & v_2 & w_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_1 & v_1 & w_1 \end{bmatrix} \mathbf{M}^{-1}.</math>
 
Lorsque les coordonnées sont écrites en colonnes plutôt qu'en lignes, on obtient
:<math>\begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{bmatrix} = ({}^t \textbf{M})^{-1} \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{bmatrix}.</math>
 
==== Tenseur métrique ====
En posant '''e'''{{ind|1,1}}='''a'''{{ind|1}}, '''e'''{{ind|1,2}}='''b'''{{ind|1}}, '''e'''{{ind|1,3}}='''c'''{{ind|1}}, '''e'''{{ind|2,1}}='''a'''{{ind|2}}, '''e'''{{ind|2,2}}='''b'''{{ind|2}} et '''e'''{{ind|2,3}}='''c'''{{ind|2}}, une composante '''G'''{{ind|2,''ij''}} de '''G'''{{ind|2}} s'écrit en fonction des vecteurs de l'ancienne base 1 comme :
:<math>\begin{array}{rcl}
\mathbf{G}_{2,ij} & = & \displaystyle{\mathbf{e}_{2,i} \cdot \mathbf{e}_{2,j} = \left( \sum_{k=1}^3 \mathbf{M}^{-1}_{ki} \mathbf{e}_{1,i} \right) \cdot \left( \sum_{l=1}^3 \mathbf{M}^{-1}_{lj} \mathbf{e}_{1,j} \right)} \\[3ex]
& = & \displaystyle{\sum_{k=1}^3 \sum_{l=1}^3 \mathbf{M}^{-1}_{ki} \mathbf{e}_{1,i} \cdot \mathbf{e}_{1,j} \mathbf{M}^{-1}_{lj} = \sum_{k=1}^3 \sum_{l=1}^3 \mathbf{M}^{-1}_{ki} G_{1,ij} \mathbf{M}^{-1}_{lj}} \\[3ex]
& = & \displaystyle{\sum_{k=1}^3 \sum_{l=1}^3 \mathbf{M}^{-1}_{ki} G_{1,ij} {}^t\mathbf{M}^{-1}_{jl}}
\end{array}</math>
La transformation du tenseur métrique par le changement de base est donc
:<math>\mathbf{G}_2 = \mathbf{M}^{-1} \mathbf{G}_1 {}^t\mathbf{M}^{-1}.</math>
Le même raisonnement en partant de '''G'''{{ind|1}} conduit à
:<math>\mathbf{G}_1 = \mathbf{M}^{-1} \mathbf{G}_2 ({}^t\mathbf{M})^{-1}.</math>
 
==== Applications linéaires : matrices ====
:<math>\begin{array}{ccc} \mathbf{X}'_1 = \textbf{A} \mathbf{X}_1, & & \mathbf{X}'_2 = \textbf{B} \mathbf{X}_2. \end{array}</math>
Connaissant la transformation des coordonnées par le changement de base de 1 vers 2, on peut écrire
:<math>\mathbf{X}'_2 = ({}^t\mathbf{M})^{-1} \mathbf{X}'_1 = ({}^t\mathbf{M})^{-1} \mathbf{A} \mathbf{X}_1 = \mathbf{B} ({}^t\mathbf{M})^{-1} \mathbf{X}_1.</math>
En applicant ({{exp|''t''}}'''M'''){{exp|−1}} à gauche de chaque membre de l'égalité :
:<math>\mathbf{A} \mathbf{X}_1 = ({}^t\mathbf{M})^{-1} \mathbf{B} ({}^t\mathbf{M})^{-1} \mathbf{X}_1</math>
d'où
:<math>\mathbf{A} = ({}^t\mathbf{M})^{-1} \mathbf{B} ({}^t\mathbf{M})^{-1}</math>
et
:<math>\mathbf{B} = ({}^t\mathbf{M})^{-1} \mathbf{A} ({}^t\mathbf{M})^{-1}.</math>
 
=== Changement d'origine ===