Différences entre les versions de « Cristallographie géométrique/Calculs dans les réseaux »

→‎Applications linéaires : matrices : il doit y avoir une erreur quelque part...
m (→‎Produit scalaire : retouche)
(→‎Applications linéaires : matrices : il doit y avoir une erreur quelque part...)
 
==== Applications linéaires : matrices ====
Soit une application linéaire ''f'' qui associe à tout point X de l'espace tridimensionnel, repéré par le vecteur '''X''', un point X' repéré par le vecteur '''X''''. Cette application peut par exemple être une opération de symétrie. Elle est représentée par la matrice '''A''' dans la base 1. La matrice de ''f'' dans la base 2 est notée '''B'''. Les coordonnées du point X' s'obtiennent dans les deux bases par les relations matricielles suivantes :
:<math>\begin{array}{ccc} \mathbf{X}'_1 = \textbf{A} \mathbf{X}_1, & & \mathbf{X}'_2 = \textbf{B} \mathbf{X}_2. \end{array}</math>
:<math>\begin{array}{ccc}
\mathbf{X}'_1 = \textbf{A} \mathbf{X}_1, & & \mathbf{X}'_2 = \textbf{B} \mathbf{X}_2.
\end{array}</math>
Connaissant la transformation des coordonnées par le changement de base de 1 vers 2, on peut écrire
:<math>\mathbf{X}'_2 = {}^t\mathbf{M} \mathbf{X}'_1 = {}^t\mathbf{M} \mathbf{A} \mathbf{X}_1 = \mathbf{B} {}^t\mathbf{M} \mathbf{X}_1.</math>
d'où
:<math>\mathbf{A} = ({}^t\mathbf{M})^{-1} \mathbf{B} {}^t\mathbf{M}</math>
et
:<math>{}^t\mathbf{M} \mathbf{A} ({}^t\mathbf{M})^{-1} = \mathbf{B}.</math>
 
=== Changement d'origine ===