Différences entre les versions de « Cristallographie géométrique/Calculs dans les réseaux »

→‎Bases d'origine commune : applications linéaires
(→‎Tenseur métrique : transformation inverse)
(→‎Bases d'origine commune : applications linéaires)
 
==== Coordonnées, vecteurs, rangées ====
Soit point AX de coordonnées (''x''{{ind|1}},''y''{{ind|1}},''z''{{ind|1}}) dans la base 1 et (''x''{{ind|2}},''y''{{ind|2}},''z''{{ind|2}}) dans la base 2. Son vecteur position '''r''' s'écrit dans les deux bases :
:<math>\begin{array}{ccc}
\mathbf{r} = \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \\ \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{c}_1 \end{bmatrix}, & & \mathbf{r} = \begin{bmatrix} x_2 & y_2 & z_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_2 \\ \mathbf{b}_2 \\ \mathbf{c}_2 \end{bmatrix}.
La transformation du tenseur métrique par le changement de base est donc
:<math>\mathbf{G}_2 = \mathbf{M}^{-1} \mathbf{G}_1 {}^t\mathbf{M}^{-1}.</math>
Le même raisonnement en partant de '''G'''{{ind|1}} conduit à
:<math>\mathbf{G}_1 = \mathbf{M} \mathbf{G}_2 {}^t\mathbf{M}.</math>
 
==== Applications linéaires : matrices ====
Soit une application linéaire ''f'' qui associe à tout point X de l'espace tridimensionnel, repéré par le vecteur '''X''', un point X' repéré par le vecteur '''X''''. Cette application peut par exemple être une opération de symétrie. Elle est représentée par la matrice '''A''' dans la base 1. La matrice de ''f'' dans la base 2 est notée '''B'''.
:<math>\begin{array}{ccc}
\mathbf{X}'_1 = \textbf{A} \mathbf{X}_1, & & \mathbf{X}'_2 = \textbf{B} \mathbf{X}_2.
\end{array}</math>
Connaissant la transformation des coordonnées par le changement de base de 1 vers 2, on peut écrire
:<math>\mathbf{X}'_2 = {}^t\mathbf{M} \mathbf{X}'_1 = {}^t\mathbf{M} \mathbf{A} \mathbf{X}_1 = \mathbf{B} {}^t\mathbf{M} \mathbf{X}_1.</math>
En applicant ({{exp|''t''}}'''M'''){{exp|−1}} à gauche de chaque membre de l'égalité :
:<math>\mathbf{A} \mathbf{X}_1 = ({}^t\mathbf{M})^{-1} \mathbf{B} {}^t\mathbf{M} \mathbf{X}_1</math>
d'où
:<math>\mathbf{A} = ({}^t\mathbf{M})^{-1} \mathbf{B} {}^t\mathbf{M}</math>
 
=== Changement d'origine ===