Différences entre les versions de « Cristallographie géométrique/Calculs dans les réseaux »

→‎Bases d'origine commune : tenseur métrique
(→‎Changement de base : changement de notation pour se conformer à l'usage habituel de la matrice de passage *sigh*)
(→‎Bases d'origine commune : tenseur métrique)
=== Bases d'origine commune ===
==== Matrice de passage ====
Un changement de la base {'''a'''{{ind|1}}, '''b'''{{ind|1}}, '''c'''{{ind|1}}} vers la base {'''a'''{{ind|2}}, '''b'''{{ind|2}}, '''c'''{{ind|2}}} s'effectue à l'aide de la [[:w:Matrice de passage|matrice de passage]] '''M''', définie parde la façon suivante :
:<math>\begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \\ \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{c}_1 \end{bmatrix} = \mathbf{M} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_2 \\ \mathbf{b}_2 \\ \mathbf{c}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{M}_{11} & \mathbf{M}_{12} & \mathbf{M}_{13} \\ \mathbf{M}_{21} & \mathbf{M}_{22} & \mathbf{M}_{23} \\ \mathbf{M}_{31} & \mathbf{M}_{32} & \mathbf{M}_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_2 \\ \mathbf{b}_2 \\ \mathbf{c}_2 \end{bmatrix}.</math>
 
Lorsque les coordonnées sont écrites en colonnes plutôt qu'en lignes, on obtient
:<math>\begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{bmatrix} = {}^t \textbf{M} \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{bmatrix}.</math>
 
{{...}}<!-- histoire de variables variantes et contravariantes -->
==== Tenseur métrique ====
Le tenseur métrique de la base 2 est
:<math>\mathbf{G}_2 = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{a}_2 & \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{b}_2 & \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{c}_2 \\ \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{b}_2 & \mathbf{b}_2 \cdot \mathbf{b}_2 & \mathbf{b}_2 \cdot \mathbf{c}_2 \\ \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{c}_2 & \mathbf{b}_2 \cdot \mathbf{c}_2 & \mathbf{c}_2 \cdot \mathbf{c}_2 \end{bmatrix}.</math>
En posant '''e'''{{ind|1,1}}='''a'''{{ind|1}}, '''e'''{{ind|1,2}}='''b'''{{ind|1}}, '''e'''{{ind|1,3}}='''c'''{{ind|1}}, '''e'''{{ind|2,1}}='''a'''{{ind|2}}, '''e'''{{ind|2,2}}='''b'''{{ind|2}} et '''e'''{{ind|2,3}}='''c'''{{ind|2}}, une composante '''G'''{{ind|2,''ij''}} de '''G'''{{ind|2}} s'écrit en fonction des vecteurs de l'ancienne base 1 comme :
:<math>\begin{array}{rcl}
\mathbf{G}_{2,ij} & = & \displaystyle{\mathbf{e}_{2,i} \cdot \mathbf{e}_{2,j} = \left( \sum_{k=1}^3 \mathbf{M}^{-1}_{ki} \mathbf{e}_{1,i} \right) \cdot \left( \sum_{l=1}^3 \mathbf{M}^{-1}_{lj} \mathbf{e}_{1,j} \right)} \\[3ex]
& = & \displaystyle{\sum_{k=1}^3 \sum_{l=1}^3 \mathbf{M}^{-1}_{ki} \mathbf{e}_{1,i} \cdot \mathbf{e}_{1,j} \mathbf{M}^{-1}_{lj} = \sum_{k=1}^3 \sum_{l=1}^3 \mathbf{M}^{-1}_{ki} G_{1,ij} \mathbf{M}^{-1}_{lj}} \\[3ex]
& = & \displaystyle{\sum_{k=1}^3 \sum_{l=1}^3 \mathbf{M}^{-1}_{ki} G_{1,ij} {}^t\mathbf{M}^{-1}_{jl}}
\end{array}</math>
La transformation du tenseur métrique par le changement de base est donc
:<math>\mathbf{G}_2 = \mathbf{M}^{-1} \mathbf{G}_1 {}^t\mathbf{M}^{-1}.</math>
 
=== Changement d'origine ===