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« Cristallographie géométrique/Calculs dans les réseaux » : différence entre les versions

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→‎Changement de base : changement de notation pour se conformer à l'usage habituel de la matrice de passage *sigh*
Ligne 197 :
=== Bases d'origine commune ===
==== Matrice de passage ====
Un changement de la base {'''a'''{{ind|1}}, '''b'''{{ind|1}}, '''c'''{{ind|1}}} vers la base {'''a'''{{ind|2}}, '''b'''{{ind|2}}, '''c'''{{ind|2}}} s'effectue à l'aide de la [[:w:Matrice de passage|matrice de passage]] '''PM'''{{exp|1→2}}, :définie par
:<math>\begin{bmatrix} \mathbf{a}_2_1 \\ \mathbf{b}_2_1 \\ \mathbf{c}_2_1 \end{bmatrix} = \mathbf{P}^{1 \rightarrow 2M} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1_2 \\ \mathbf{b}_1_2 \\ \mathbf{c}_1_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{P}^{1 \rightarrow 2M}_{11} & \mathbf{P}^{1 \rightarrow 2M}_{12} & \mathbf{P}^{1 \rightarrow 2M}_{13} \\ \mathbf{P}^{1 \rightarrow 2M}_{21} & \mathbf{P}^{1 \rightarrow 2M}_{22} & \mathbf{P}^{1 \rightarrow 2M}_{23} \\ \mathbf{P}^{1 \rightarrow 2M}_{31} & \mathbf{P}^{1 \rightarrow 2M}_{32} & \mathbf{P}^{1 \rightarrow 2M}_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1_2 \\ \mathbf{b}_1_2 \\ \mathbf{c}_1_2 \end{bmatrix}.</math>
 
LaPar convention, la matrice de passage '''PM'''{{exp|1→2}} contient dans chaque colonne les composantes des vecteurs de lal'ancienne base 21 exprimées dans la nouvelle base 12 :
:<math>\begin{array}{rcl}
\mathbf{a}_2_1 & = & \mathbf{P}^{1 \rightarrow 2M}_{11} \mathbf{a}_1_2 + \mathbf{P}^{1 \rightarrow 2M}_{12} \mathbf{b}_1_2 + \mathbf{P}^{1 \rightarrow 2M}_{13} \mathbf{c}_1_2, \\
\mathbf{b}_2_1 & = & \mathbf{P}^{1 \rightarrow 2M}_{21} \mathbf{a}_1_2 + \mathbf{P}^{1 \rightarrow 2M}_{22} \mathbf{b}_1_2 + \mathbf{P}^{1 \rightarrow 2M}_{23} \mathbf{c}_1_2, \\
\mathbf{c}_2_1 & = & \mathbf{P}^{1 \rightarrow 2M}_{31} \mathbf{a}_1_2 + \mathbf{P}^{1 \rightarrow 2M}_{32} \mathbf{b}_1_2 + \mathbf{P}^{1 \rightarrow 2M}_{33} \mathbf{c}_1_2.
\end{array}</math>
'''M''' est donc la matrice de passage de la nouvelle base vers l'ancienne base. En pratique, il est plus utile de considérer le changement de base inverse, qui s'écrit à l'aide de la matrice de passage inverse '''M'''{{exp|−1}} :
 
:<math>\begin{bmatrix} \mathbf{a}_1_2 \\ \mathbf{b}_1_2 \\ \mathbf{c}_1_2 \end{bmatrix} = \mathbf{PM}^{2 \rightarrow -1} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_2_1 \\ \mathbf{b}_2_1 \\ \mathbf{c}_2_1 \end{bmatrix}.</math>▼
Le changement de base inverse s'écrit à l'aide de la matrice de passage '''P'''{{exp|2→1}}=('''P'''{{exp|1→2}}){{exp|−1}} :
▲:<math>\begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \\ \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{c}_1 \end{bmatrix} = \mathbf{P}^{2 \rightarrow 1} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_2 \\ \mathbf{b}_2 \\ \mathbf{c}_2 \end{bmatrix}.</math>
 
==== Transformation des coordonnées ====
Ligne 215 ⟶ 214 :
\mathbf{r} = \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \\ \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{c}_1 \end{bmatrix}, & & \mathbf{r} = \begin{bmatrix} x_2 & y_2 & z_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_2 \\ \mathbf{b}_2 \\ \mathbf{c}_2 \end{bmatrix}.
\end{array}</math>
En utilisant la matrice de passage '''PM'''{{exp|1→2}}, on peut écrire
:<math>\mathbf{r} = \begin{bmatrix} x_2 & y_2 & z_2 \end{bmatrix} \mathbf{PM}^{-1 \rightarrow 2} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \\ \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{c}_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \\ \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{c}_1 \end{bmatrix},</math>
soit
:<math>\mathbf{r} = \begin{bmatrix} x_2 & y_2 & z_2 \end{bmatrix} \mathbf{PM}^{-1 \rightarrow 2} = \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \end{bmatrix}.</math>
En multipliant les deux membres de l'égalité par ('''PM'''{{exp|1→2}}){{exp|−1}} à droite, on obtient finalement
:<math>\begin{bmatrix} x_2 & y_2 & z_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \end{bmatrix} (\mathbf{P}^{1 \rightarrow 2})^{-1M}.</math>
 
{{...}}
Lorsque les coordonnées sont écrites en colonnes plutôt qu'en lignes, on obtient
:<math>\begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{bmatrix} = {}^t \textbf{M} \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{bmatrix}.</math>
{{...}}<!-- histoire de variables variantes et contravariantes -->
 
=== Changement d'origine ===
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