Différences entre les versions de « Cristallographie géométrique/Calculs dans les réseaux »

→‎Changement de base : transformation des coordonnées
(→‎Changement de base : ajout, changement de base inverse)
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== Changement de base ==
{{...}}
{{définition|définition=Un changement de base est une opération qui permet de passer d'un système de coordonnées à un autre.}}
[[Image:Basis transformation.png|thumb|Changement de base dans l'espace bidimensionnel.]]
Il est souvent utile de changer de système de coordonnées. Lors d'une [[Cristallographie géométrique/Transitions de phase|transition de phase]] par exemple, la maille et/ou le [[Cristallographie géométrique/Groupes d'espace|groupe d'espace]] d'un cristal peut changer. La comparaison des deux structures du cristal avant et après la transition de phase est facilitée si on utilise le système de coordonnées de la structure de plus basse symétrie pour les deux structures. D'autre part, les propriétés physiques d'un cristal sont souvent décrites par un tenseur symmétrique rapporté à une base orthonormale. C'est le cas de la [[:w:dilatation thermique|dilatation thermique]] qui s'écrit dans le cas général comme un tenseur symétrique de rang 2. En cristallographie, la dilatation thermique est souvent calculée à partir de la variation thermique des paramètres de maille, c'est-à-dire dans la base de la maille conventionnelle qui n'est pas orthonormale.
 
=== Bases d'origine commune ===
Un changement de la base {'''a'''{{ind|1}}, '''b'''{{ind|1}}, '''c'''{{ind|1}}} vers la base {'''a'''{{ind|2}}, '''b'''{{ind|2}}, '''c'''{{ind|2}}} s'effectue à l'aide de la [[:w:Matrice de passage|matrice de passage]] '''P'''{{exp|1→2}} :
:<math>\begin{bmatrix} \mathbf{a}_2 \\ \mathbf{b}_2 \\ \mathbf{c}_2 \end{bmatrix} = \mathbf{P}^{1 \rightarrow 2} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \\ \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{c}_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{P}^{1 \rightarrow 2}_{11} & \mathbf{P}^{1 \rightarrow 2}_{12} & \mathbf{P}^{1 \rightarrow 2}_{13} \\ \mathbf{P}^{1 \rightarrow 2}_{21} & \mathbf{P}^{1 \rightarrow 2}_{22} & \mathbf{P}^{1 \rightarrow 2}_{23} \\ \mathbf{P}^{1 \rightarrow 2}_{31} & \mathbf{P}^{1 \rightarrow 2}_{32} & \mathbf{P}^{1 \rightarrow 2}_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \\ \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{c}_1 \end{bmatrix}.</math>
 
La matrice de passage '''P'''{{exp|1→2}} contient les composantes des vecteurs de la base 2 exprimées dans la base 1 :
:<math>\begin{array}{rcl}
\mathbf{c}_2 & = & \mathbf{P}^{1 \rightarrow 2}_{31} \mathbf{a}_1 + \mathbf{P}^{1 \rightarrow 2}_{32} \mathbf{b}_1 + \mathbf{P}^{1 \rightarrow 2}_{33} \mathbf{c}_1.
\end{array}</math>
 
Le changement de base inverse s'écrit à l'aide de la matrice de passage '''P'''{{exp|2→1}}=('''P'''{{exp|1→2}}){{exp|−1}} :
:<math>\begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \\ \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{c}_1 \end{bmatrix} = \mathbf{P}^{2 \rightarrow 1} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_2 \\ \mathbf{b}_2 \\ \mathbf{c}_2 \end{bmatrix}.</math>
 
Soit point A de coordonnées (''x''{{ind|1}},''y''{{ind|1}},''z''{{ind|1}}) dans la base 1 et (''x''{{ind|2}},''y''{{ind|2}},''z''{{ind|2}}) dans la base 2. Son vecteur position '''r''' s'écrit dans les deux bases :
:<math>\begin{array}{ccc}
\mathbf{r} = \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \\ \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{c}_1 \end{bmatrix}, & & \mathbf{r} = \begin{bmatrix} x_2 & y_2 & z_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_2 \\ \mathbf{b}_2 \\ \mathbf{c}_2 \end{bmatrix}.
\end{array}</math>
En utilisant la matrice de passage '''P'''{{exp|1→2}}, on peut écrire
:<math>\mathbf{r} = \begin{bmatrix} x_2 & y_2 & z_2 \end{bmatrix} \mathbf{P}^{1 \rightarrow 2} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \\ \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{c}_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \\ \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{c}_1 \end{bmatrix},</math>
soit
:<math>\mathbf{r} = \begin{bmatrix} x_2 & y_2 & z_2 \end{bmatrix} \mathbf{P}^{1 \rightarrow 2} = \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \end{bmatrix}.</math>
En multipliant les deux membres de l'égalité par ('''P'''{{exp|1→2}}){{exp|−1}} à droite, on obtient finalement
:<math>\begin{bmatrix} x_2 & y_2 & z_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \end{bmatrix} (\mathbf{P}^{1 \rightarrow 2})^{-1}.</math>
{{...}}
 
=== Changement d'origine ===
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{{DEFAULTSORT:Calculs dans les reseaux}}