« Propriétés métriques des droites et plans » : différence entre les versions
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{{Cas d'application|Distance entre deux droites}}
== Le plan dans l'espace euclidien ==
=== Vecteur orthogonal à un plan ===
Soit
<center><math>(1bis) \qquad ux+vy+wz+h=0</math></center>
Pour <math>
<center><math>(2bis) \qquad ux_0+vy_0+wz_0+h = 0</math></center>
En retranchant (2bis) à (1bis) on obtient :
<center><math>u(x-x_0)+v(y-y_0)+w(z-z_0) = 0\,</math></center>
En notant <math>\
<center><math>\
Le plan P d'équation <math>ux+vy+wz+h=0</math> est donc orthogonal au vecteur <math>\
=== Plan passant par un point et orthogonal à un vecteur non nul donné ===
Soit un point <math>\mathrm{M}(x,y,z)</math> et un vecteur <math>\scriptstyle \
:<center> <math>\overrightarrow{N} . \overrightarrow{M_0M}=0</math></center>▼
Le plan P, passant par <math>\mathrm{M}_0(x_0,y_0,z_0)</math> et orthogonal à <math>\scriptstyle \vec{\mathrm{N}}</math>, a donc pour équation : :
:<center><math>u(x-x_0) + v(y-y_0) + w(z-z_0)= 0\,</math></center>
=== Angles de deux plans ===
Soitent (P) et (P') deux plans d'équations▼
<center><math>(P) : ux+vy+wz+h = 0\,</math></center>▼
L'angle géométrique <math>(P,P')</math> est déterminé à l'aide de l'angle des vecteurs normaux <math>(\overrightarrow{N},\overrightarrow{N'})</math> ▼
<center><math>\cos(P,P') = |\cos(\overrightarrow{N},\overrightarrow{N'})|=\frac{|uu'+vv'+ww'|}{\sqrt{u^2+v^2+w^2}\times\sqrt{u'^2+v'^2+w'^2}}</math></center>▼
{{Cas d'application|Angles de deux plans}}▼
▲L'angle géométrique <math>(\mathrm{P}, \mathrm{P'})</math> est déterminé à l'aide de l'angle des vecteurs normaux <math>(\
▲<center><math>\cos(\mathrm{P}, \mathrm{P'}) = |\cos(\
▲{{Cas d'application|Angles de deux plans}}
=== Plans perpendiculaires ===
Les plan (P) et (P') sont perpendiculaires si les vecteurs normaux <math>\overrightarrow{N}</math> et <math>\overrightarrow{N'}</math> sont orthogonaux. Ce qui implique <center><math>uu'+vv'+ww' = 0 \,</math></center>▼
▲Les plan
=== Distance algébrique d'un point <math>M(x,y,z)</math> à un plan P d'équation <math>ux+vy+wz+h=0</math> ===▼
Soit H la projeté de <math>M(x,y,z)</math> sur P avec <math>\overrightarrow{HM}</math> orthogonal à P.▼
▲=== Distance algébrique d'un point
La droite perpendiculaire à P et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur <math>\scriptstyle \overrightarrow{N}(u,v,w)</math>, on montre que la distance algébrique entre M et P est donnée par :▼
: <center><math>d_a(H,M) = \frac{ux+vy+wz+h}\sqrt{u^2 + v^2+w^2}</math></center>▼
▲Soit H la projeté de <math>\mathrm{M}(x,y,z)</math> sur P avec <math>\overrightarrow{\mathrm{HM}}</math> orthogonal à P.
▲La droite perpendiculaire à P et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur <math>\scriptstyle \
▲: <center><math>d_a(\mathrm{H}, \mathrm{M}) = \frac{ux+vy+wz+h}\sqrt{u^2 + v^2+w^2}</math></center>
En valeur absolue:
<center><math>\|\overrightarrow{\mathrm{HM}}\| = \frac{|ux+vy+wz+h|}\sqrt{u^2 + v^2+w^2}</math></center>.
=== Équation de plan et déterminant ===
==== Plan défini par un point et deux vecteurs non colinéaires ====
Soient un point <math>
Ce qui donne, en représentant le produit mixte de ces trois vecteurs sous la forme d'un déterminant :
:<math>
\det(\overrightarrow{
</math>
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</math>
que l'on peut écrire sous la forme <math>ux+vy+wz+h=0</math>
==== Plan défini par deux points et un vecteur ====
Le point M appartient au plan passant par <math>\mathrm{M}_1(x_1,y_1,z_1),M_2(x_2,y_2,z_2) </math> et de direction <math>\vec \mathrm{V}_1 \begin{a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> si et seulement si les trois vecteurs : <math>\overrightarrow{\mathrm{M_1M}},\overrightarrow{\mathrm{M_2M_1}},\vec \mathrm{V}</math>sont coplanaires, donc :
:<math>
\det(\overrightarrow{\mathrm{M_1M}},\overrightarrow{\mathrm{M_2M_1}},\vec \mathrm{V})=0
</math>
Son équation est :
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==== '''Plan défini par trois points non alignés''' ====
Soient <math>
Par analogie avec ce qui précède, L'équation du plan passant par ces trois point est
:<math>\begin{vmatrix}
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