« Propriétés métriques des droites et plans » : différence entre les versions

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{{Cas d'application|Distance entre deux droites}}
 
== Le plan dans l'espace euclidien ==
 
 
=== Vecteur orthogonal à un plan ===
 
Soit <math>M(''x'', ''y'', ''z'')</math> un point du plan P dont l'équation dans un repère orthonormé est donnée par :
<center><math>(1bis) \qquad ux+vy+wz+h=0</math></center>
Pour <math>M_0\mathrm{M}_0(x_0,y_0,z_0)</math> un point spécifique de P on obtient :
<center><math>(2bis) \qquad ux_0+vy_0+wz_0+h = 0</math></center>
En retranchant (2bis) à (1bis) on obtient :
<center><math>u(x-x_0)+v(y-y_0)+w(z-z_0) = 0\,</math></center>
En notant <math>\overrightarrowvec{\mathrm{N}}</math>, le vecteur de coordonnéescomposantes (''<math>\begin{pmatrix}u,, \\ v ,\\ w'')\end{pmatrix}</math>, on exprime (1bis) comme suit :
<center><math>\overrightarrowvec{\mathrm{N}} .\cdot \overrightarrow{\mathrm{M_0M}}=0</math></center>
Le plan P d'équation <math>ux+vy+wz+h=0</math> est donc orthogonal au vecteur <math>\overrightarrowvec{\mathrm{N}(}\begin{pmatrix}u, \\ v, \\ w) \end{pmatrix}</math> et ce vecteur est appelé un vecteur normal au plan P.
 
=== Plan passant par un point et orthogonal à un vecteur non nul donné ===
 
Soit un point <math>\mathrm{M}(x,y,z)</math> et un vecteur <math>\scriptstyle \overrightarrowvec{\mathrm{N}(} \begin{pmatrix} u, \\ v, \\ w) \end{pmatrix}</math> non nul. Le point M appartient au plan P, passant par <math>M_0\mathrm{M}_0(x_0,y_0, y_0)</math> et orthogonal à <math>\scriptstyle \overrightarrowvec{\mathrm{N}}</math>, si et seulement si :
:<center> <math>\overrightarrow{N} . \overrightarrow{M_0M}=0</math></center>
Le plan P, passant par :<math>M_0(x_0,y_0,z_0)</mathcenter> et orthogonal à <math>\scriptstylevec{\mathrm{N}} \cdot \overrightarrow{N\mathrm{M_0M}}=0</math>, a donc pour équation : :</center>
Le plan P, passant par <math>\mathrm{M}_0(x_0,y_0,z_0)</math> et orthogonal à <math>\scriptstyle \vec{\mathrm{N}}</math>, a donc pour équation : :
:<center><math>u(x-x_0) + v(y-y_0) + w(z-z_0)= 0\,</math></center>
 
=== Angles de deux plans ===
Soitent (P) et (P') deux plans d'équations
 
SoitentSoient (P) et (P') deux plans d'équations
<center><math>(P) : ux+vy+wz+h = 0\,</math></center>
<center><math>(P') : u'x+v'y+w'z+h' = 0\,</math></center>
L'angle géométrique <math>(P,P')</math> est déterminé à l'aide de l'angle des vecteurs normaux <math>(\overrightarrow{N},\overrightarrow{N'})</math>
<center><math>\cos(P,P') = |\cos(\overrightarrow{N},\overrightarrow{N'})|=\frac{|uu'+vv'+ww'|}{\sqrt{u^2+v^2+w^2}\times\sqrt{u'^2+v'^2+w'^2}}</math></center>
 
:<center> <math>\overrightarrowmathrm{NP} .: ux+vy+wz+h \overrightarrow{M_0M}= 0\,</math></center>
{{Cas d'application|Angles de deux plans}}
<center><math>(\mathrm{P)'} : uxu'x+vyv'y+wzw'z+h' = 0\,</math></center>
L'angle géométrique <math>(\mathrm{P}, \mathrm{P'})</math> est déterminé à l'aide de l'angle des vecteurs normaux <math>(\overrightarrowvec{\mathrm{N}}, \overrightarrowvec{\mathrm{N'}})</math>
<center><math>\cos(\mathrm{P}, \mathrm{P'}) = |\cos(\overrightarrowvec{\mathrm{N}},\overrightarrowvec{\mathrm{N'}})|=\frac{|uu'+vv'+ww'|}{\sqrt{u^2+v^2+w^2}\times\sqrt{u'^2+v'^2+w'^2}}</math></center>
 
{{Cas d'application|Angles de deux plans}}
 
=== Plans perpendiculaires ===
Les plan (P) et (P') sont perpendiculaires si les vecteurs normaux <math>\overrightarrow{N}</math> et <math>\overrightarrow{N'}</math> sont orthogonaux. Ce qui implique <center><math>uu'+vv'+ww' = 0 \,</math></center>
 
Les plan (P) et (P') sont perpendiculaires si les vecteurs normaux <math>\overrightarrowvec{\mathrm{N}}</math> et <math>\overrightarrowvec{\mathrm{N'}}</math> sont orthogonaux. Ce qui implique <center><math>uu'+vv'+ww' = 0 \,</math></center>
=== Distance algébrique d'un point <math>M(x,y,z)</math> à un plan P d'équation <math>ux+vy+wz+h=0</math> ===
Soit H la projeté de <math>M(x,y,z)</math> sur P avec <math>\overrightarrow{HM}</math> orthogonal à P.
 
=== Distance algébrique d'un point <math>M(''x'', ''y'', ''z'')</math> à un plan P d'équation <math>''ux'' + ''vy'' + ''wz'' + ''h'' = 0</math> ===
La droite perpendiculaire à P et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur <math>\scriptstyle \overrightarrow{N}(u,v,w)</math>, on montre que la distance algébrique entre M et P est donnée par :
 
: <center><math>d_a(H,M) = \frac{ux+vy+wz+h}\sqrt{u^2 + v^2+w^2}</math></center>
Soit H la projeté de <math>\mathrm{M}(x,y,z)</math> sur P avec <math>\overrightarrow{\mathrm{HM}}</math> orthogonal à P.
 
La droite perpendiculaire à P et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur <math>\scriptstyle \overrightarrowvec{\mathrm{N}(} \begin{pmatrix} u, \\ v, \\ w) \end{pmatrix}</math>, on montre que la distance algébrique entre M et P est donnée par :
: <center><math>d_a(\mathrm{H}, \mathrm{M}) = \frac{ux+vy+wz+h}\sqrt{u^2 + v^2+w^2}</math></center>
En valeur absolue:
<center><math>\|\overrightarrow{\mathrm{HM}}\| = \frac{|ux+vy+wz+h|}\sqrt{u^2 + v^2+w^2}</math></center>.
 
=== Équation de plan et déterminant ===
 
==== Plan défini par un point et deux vecteurs non colinéaires ====
 
Soient un point <math>M_0\mathrm{M}_0(x_0,y_0,z_0)</math> et deux vecteurs <math>\vec V_1\mathrm{V}_1</math> et <math>\vec V_2\mathrm{V}_2</math> non colinéaires. Un point M (''x'', ''y'', ''z'') appartient au plan P passant par <math>M_0\mathrm{M}_0(x_0,y_0,z_0)</math> et de directions <math>\vec V_1\mathrm{V}_1</math> et <math>\vec V_2\mathrm{V}_2</math> si et seulement si s'il existe deux réels &lambda; et &mu; tels que <math>\overrightarrow{MM_0\mathrm{MM}_0} = \lambda \vec V_1\mathrm{V}_1 + \mu \vec V_2\mathrm{V}_2</math> . Cette égalité exprime que <math>\overrightarrow{MM_0\mathrm{MM}_0}</math>, <math>\vec V_1,\mathrm{V}_1</math> et \vec V_2\mathrm{V}_2</math> sont coplanaires.
 
Ce qui donne, en représentant le produit mixte de ces trois vecteurs sous la forme d'un déterminant :
 
:<math>
\det(\overrightarrow{MM_0\mathrm{MM}_0},\vec V_1\mathrm{V}_1(a_1,b_1,c_1), \vec V_2\mathrm{V}_2(a_2,b_2,c_2))=0
</math>
 
Ligne 192 ⟶ 196 :
</math>
que l'on peut écrire sous la forme <math>ux+vy+wz+h=0</math>
 
 
==== Plan défini par deux points et un vecteur ====
Soient deux points <math>M_1(x_1,y_1,z_1),M_2(x_2,y_2,z_2) </math> et un vecteur <math>\vec V_1(a,b,c)</math> non colinéaire à <math>\overrightarrow{M_1M_2}</math>.
 
LeSoient pointdeux M appartient au plan passant parpoints <math>M_1\mathrm{M}_1(x_1,y_1,z_1),M_2</math> et <math>\mathrm{M}_2(x_2,y_2,z_2) </math> et deun directionvecteur <math>\vec V_1(\mathrm{V}_1 \begin{pmatrix} a, \\ b, \\ c) \end{pmatrix}</math> non sicolinéaire et seulement si les trois vecteursà :<math>\overrightarrow{M_1M},\overrightarrowmathrm{M_2M_1M_1M_2}},\vec V</math>sont coplanaires, donc :.
 
Le point M appartient au plan passant par <math>\mathrm{M}_1(x_1,y_1,z_1),M_2(x_2,y_2,z_2) </math> et de direction <math>\vec \mathrm{V}_1 \begin{a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math> si et seulement si les trois vecteurs : <math>\overrightarrow{\mathrm{M_1M}},\overrightarrow{\mathrm{M_2M_1}},\vec \mathrm{V}</math>sont coplanaires, donc :
 
:<math>
\det(\overrightarrow{\mathrm{M_1M}},\overrightarrow{\mathrm{M_2M_1}},\vec \mathrm{V})=0
</math>
Son équation est :
Ligne 215 ⟶ 219 :
==== '''Plan défini par trois points non alignés''' ====
 
Soient <math>M_1\mathrm{M}_1(x_1,y_1,z_1),M_2 \mathrm{M}_2(x_2,y_2,z_2),,M_3 \mathrm{M}_3(x_3,y_3,z_3) </math>, trois points non alignés.
 
Par analogie avec ce qui précède, L'équation du plan passant par ces trois point est
 
 
:<math>\begin{vmatrix}