« Propriétés métriques des droites et plans » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
→Angles de deux droites : typo math fr |
→La droite dans l'espace euclidien : typo math fr |
||
Ligne 80 :
=== Distance d'un point M à une droite quelconque D de l'espace ===
==== Cas où la droite est définie par un point M<
La distance <math>MH</math> est donnée par ▼
: <center><math>MH = \frac{\|\overrightarrow{MM_0}\wedge \vec V\|} {\|\vec V\|}</math></center>▼
==== Cas ou la droite est définie par l'intersection de deux plans ====▼
▲
:<math>P_1 = u_1x+v_1y+w_1z+h_1 = 0\,</math>▼
▲==== Cas ou la droite est définie par l'intersection de deux plans ====
:<math>
Le plan Q perpendiculaire à P<sub>1</sub> appartient au faisceau de plans P<sub>1</sub> + λP<sub>2</sub> = 0.
Soit H<
On calculera <math>
▲Soit <math>H_1, H_Q, H \,</math> les projections orthogonales du point <math>M\,</math> respectivement sur <math>P_1, Q, D\,</math>, on en déduit <math>MH^2 = MH_1^2 + MH_Q^2\,</math>
▲On calculera <math>MH_1\,</math> et <math>MH_Q\,</math> comme détaillé au chapitre "Distance algébrique d'un point à un plan" ci dessous.
{{Cas d'application|Distance d'un point à un plan}}
=== Droites orthogonales à un plan ===
Le plan étant défini par l'équation <math>ux + vy + wz + h = 0</math>, les droites perpendiculaires au plan sont toutes les droites de vecteur directeur <math>\
Une droite (D) passant par le point <math>
<center><math>\frac{x-x_0}{u}=\frac{y-y_0}{v}=\frac{z-z_0}{w}</math></center>
dans le cas où aucun des réels, ''u'', ''v'', ''w'', n'est nul.
Si un seul des des réels est nul
<center><math>x=x_0 \qquad \frac{y-y_0}{v}=\frac{z-z_0}{w}</math></center>
Ligne 119 ⟶ 116 :
=== Distance entre deux droites quelconque de l'espace ===
Soient la droite (D<
Si les vecteurs <math>\vec
: <math>k = (\
▲Si les vecteurs <math>\vec V_0</math> et <math>\vec V_1</math> sont indépendants, le volume du solide construit sur <math>\vec {M_0M_1},\vec V_0, \vec V_1 </math> est égal à <math>|k|</math>. Ce réel se calcule grâce au produit mixte :
▲: <math>k = (\vec {M_0M_1},\vec V_0, \vec V_1)</math>
L'aire de la base du solide est donnée par
: <math>\|\vec \mathrm{W}\|</math> tel que <math>\vec{\mathrm{W}} = \vec{
La distance entre les deux droites est alors égale à <math>d= \frac{|k|}{\|\vec{\mathrm{W}}\|}</math>.
Si les vecteurs sont colinéaires alors les deux droites sont parallèles et la distance qui les sépare correspond à la distance qui sépare le point M<sub>1</sub> de la droite (D<sub>0</sub>).
{{Cas d'application|Distance entre deux droites}}
==Le plan dans l'espace euclidien ==
|