« Propriétés métriques des droites et plans » : différence entre les versions

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=== Distance d'un point M à une droite quelconque D de l'espace ===
 
==== Cas où la droite est définie par un point M<mathsub>M_00</mathsub> et un vecteur <math>\overrightarrowvec{\mathrm{V}}</math> non nul ====
La distance <math>MH</math> est donnée par
: <center><math>MH = \frac{\|\overrightarrow{MM_0}\wedge \vec V\|} {\|\vec V\|}</math></center>
 
La distance <math>MH</math> est donnée par
==== Cas ou la droite est définie par l'intersection de deux plans ====
 
: <center><math>\mathrm{MH} = \frac{\|\overrightarrow{MM_0\mathrm{MM}_0}\wedge \vec \mathrm{V} \|} {\|\vec \mathrm{V} \|}</math></center>
:<math>P_1 = u_1x+v_1y+w_1z+h_1 = 0\,</math>
 
==== Cas ou la droite est définie par l'intersection de deux plans ====
 
:<math>P_2\mathrm{P}_1 = u_2xu_1x+v_2yv_1y+w_2zw_1z+h_2h_1 = 0\,</math>
:<math>P_1\mathrm{P}_2 = u_1xu_2x+v_1yv_2y+w_1zw_2z+h_1h_2 = 0\,</math>
 
Le plan Q perpendiculaire à P<sub>1</sub> appartient au faisceau de plans P<sub>1</sub> + λP<sub>2</sub> = 0.
 
leLe plan <math>Q\,</math> sera perpendiculaire à P<mathsub>P_1\,1</mathsub> appartient au faisceau de planspour <math>P_1 + \lambda P_2= 0\frac{-(u_1^2 + v_1^2+w_1^2)}{u_1u_2+v_1v_2+w_1w_2}\,</math>.
 
Soit H<mathsub>1</sub>H_1, H_Q, H \,<sub>Q</mathsub> et H les projections orthogonales du point <math>M\,</math> respectivement sur P<mathsub>1</sub>P_1, Q, et (D\,</math>,). onOn en déduit <math>\mathrm{MH}^2 = MH_1\mathrm{MH}_1^2 + \mathrm{MH_Q}^2\,</math> .
 
On calculera <math>MH_1\mathrm{MH}_1\,</math> et <math>\mathrm{MH_Q}\,</math> comme détaillé au chapitre "« Distance algébrique d'un point à un plan" » ci dessous.
<math>Q\,</math> sera perpendiculaire à <math>P_1\,</math> pour <math>\lambda = \frac{-(u_1^2 + v_1^2+w_1^2)}{u_1u_2+v_1v_2+w_1w_2}\,</math>
 
 
Soit <math>H_1, H_Q, H \,</math> les projections orthogonales du point <math>M\,</math> respectivement sur <math>P_1, Q, D\,</math>, on en déduit <math>MH^2 = MH_1^2 + MH_Q^2\,</math>
 
On calculera <math>MH_1\,</math> et <math>MH_Q\,</math> comme détaillé au chapitre "Distance algébrique d'un point à un plan" ci dessous.
 
 
{{Cas d'application|Distance d'un point à un plan}}
 
=== Droites orthogonales à un plan ===
 
Le plan étant défini par l'équation <math>ux + vy + wz + h = 0</math>, les droites perpendiculaires au plan sont toutes les droites de vecteur directeur <math>\overrightarrowvec{\mathrm{N}(}\begin{pmatrix}u, \\ v, \\\ w)\end{pmatrix}</math>.
Une droite (D) passant par le point <math>M_0\mathrm{M}_0(x_0,y_0,z_0)</math> et perpendiculaire à <math>[\mathrm{P}] : ux + vy + wz + h = 0</math> a pour équations :
<center><math>\frac{x-x_0}{u}=\frac{y-y_0}{v}=\frac{z-z_0}{w}</math></center>
dans le cas où aucun des réels, ''u'', ''v'', ''w'', n'est nul.
 
Si un seul des des réels est nul , par exemple ''u''= 0, le système devient :
<center><math>x=x_0 \qquad \frac{y-y_0}{v}=\frac{z-z_0}{w}</math></center>
 
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=== Distance entre deux droites quelconque de l'espace ===
 
Soient la droite (D<mathsub>(D_0)0</mathsub>) passant par <math>M_0\mathrm{M]_0(x_0,y_0,z_0)</math> et de direction le vecteur <math>\vec V_0(\mathrm{V}_0\begin{pmatrix} a_0, \\ b_0, \\ c_0) \end{pmatrix}</math> et (D<mathsub>(D_1)1</mathsub>) la droite passant par <math>M_1\mathrm{M}_1(x_1,y_1,z_1)</math> et de direction <math>\vec V_1(\mathrm{V}_1 \begin{pmatrix} a_1, \\ b_1, \\ c_1) \end{pmatrix}</math>
 
Si les vecteurs <math>\vec V_0\mathrm{V}_0</math> et <math>\vec V_1\mathrm{V}_1</math> sont indépendants, le volume du solide construit sur <math>\vecoverrightarrow {\mathrm{M_0M_1}},\vec V_0\mathrm{V}_0, \vec V_1\mathrm{V}_1 </math> est égal à <math>|k|</math>. Ce réel se calcule grâce au produit mixte :
 
: <math>k = (\vecoverrightarrow {\mathrm{M_0M_1}},\vec V_0\mathrm{V}_0, \vec V_1\mathrm{V}_1)</math>.
Si les vecteurs <math>\vec V_0</math> et <math>\vec V_1</math> sont indépendants, le volume du solide construit sur <math>\vec {M_0M_1},\vec V_0, \vec V_1 </math> est égal à <math>|k|</math>. Ce réel se calcule grâce au produit mixte :
: <math>k = (\vec {M_0M_1},\vec V_0, \vec V_1)</math>
L'aire de la base du solide est donnée par
: <math>\|\vec \mathrm{W}\|</math> tel que <math>\vec{\mathrm{W}} = \vec{V_0\mathrm{V}_0} \wedge \vec{V_1\mathrm{V}_1}</math>
La distance entre les deux droites est alors égale à <math>d= \frac{|k|}{\|\vec{\mathrm{W}}\|}</math>.
 
Si les vecteurs sont colinéaires alors les deux droites sont parallèles et la distance qui les sépare correspond à la distance qui sépare le point M<sub>1</sub> de la droite (D<sub>0</sub>).
 
{{Cas d'application|Distance entre deux droites}}
 
 
==Le plan dans l'espace euclidien ==