« Calcul écrit/Calcul de la racine n-ième d'un nombre » : différence entre les versions
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Ma méthode pour calculer la N<sup>iéme</sup>racine d'un nombre dérive du boulier (mais il n'est pas nécessaire d'avoir un boulier ni de savoir comment ça marche pour la mettre en pratique) elle est donc presque uniquement basée sur des additions et des soustractions
Pour calculer <math>\sqrt[n]{x}</math> on va faire un tableau de N colonnes. Le calcul se fera de gauche à droite puis de bas en haut. Les colonnes seront nommées R1,R2,R3 etc jusqu'à R(N - 1) et la dernière sera T. T pour "tranche" , T ce sera les tranches en cours car x sera découpé en tranches de N chiffres à partir de la droite ou de la virgule , ex : * <math>\sqrt[4]{160041}\longrightarrow 16|0041</math>
Ligne 6 ⟶ 8 :
Comme pour la division, on abaissera d'abord la tranche la plus à gauche puis celle à sa droite et ainsi de suite. <br/>Le nombre de tranches nous renseigne déjà sur le nombre de chiffres qu'aura la réponse (la solution de <math>\scriptstyle{\sqrt[3]{543987321}}</math> aura 3 chiffres avant la virgule car il y a 3 tranches avant la virgule).<br/>Chaque tranche va subir un certain nombre de soustractions avant que soit descendue la prochaine.<br/>Laissons de coté, pour l'instant, les changements de tranche !<br/><br/>
Sur R1,R2 etc vont s'enchaîner une suite d'additions en forme d'escalier à l'envers (voir l'exemple). <br/>
On commence donc et l'on met +1 en R1, ensuite R1 va venir s'ajouter à R2 (0+1=1!), qui lui ira s'ajouter à R3 et ainsi de suite jusqu'à R(N - 1) qui lui ira se '''soustraire''' à T.
On démarre la seconde ligne en ajoutant +1 dans R1 (donc=2), R1 s'ajoute à R2 (1+2=3) qui s'ajoute à R3 etc jusqu'à R(N - 1) qui cette fois ne vient pas se soustraire à T.
On démarre la ligne3 en ajoutant +1 à R1 qui vient s'ajouter à R2 etc jusqu'à R(N - 2). Pareil pour la ligne 4 mais jusqu'à R(N - 3) , jusqu'à R(N - 4) pour la ligne 5 etc ...
Et les lignes s'enchaînent ainsi en se raccourcissant jusqu'à ce que R1 prenne son +1 sans aller s'ajouter à R2.
Lorsque l'on a fini le première "escalier" on en redémarre un autre avec toujours les derniers chiffres des colonnes auxquels viennent s'ajouter les R1 dans les R2 etc (voir l'exemple).<br/>Donc en dehors de la colonne R1 (qui prend +1 à chaque ligne) et de T, vous pourrez constater sur l'exemple que chaque chiffre est la somme du chiffre qui est au-dessus de lui et de celui qui est à sa gauche.
La première marche de l'escalier est toujours la plus grande, c'est celle qui va jusqu'à la soustraction de R(N - 1) a T.
On continue ce manège jusqu'à ce que T soit inférieur à R(N-1) (donc la soustraction serait négative!) auquel cas il faut descendre une nouvelle tranche. Mais on verra ça plus tard ! Intéressons-nous d'abord au cas n'ayant qu'une seule tranche et tombant juste.
{|
! '''R1'''
! '''R2'''
! '''R3'''
! '''R4'''
! '''T'''
! ( 1024 )
|-
| <math>1 \ </math>
| <math>\quad_{(+)}\longrightarrow1</math>
| <math>\quad_{(+)}\longrightarrow1</math>
| <math>\quad_{(+)}\longrightarrow1</math>
| <math>\quad_{(-)}\Rightarrow1023</math>
| <math>( = 1024 - 1 ) \ </math>
|-
| <math>2 \ </math>
| <math>\quad_{(+)}\longrightarrow3</math>
| <math>\quad_{(+)}\longrightarrow4</math>
| <math>\quad_{(+)}\longrightarrow5</math>
|-
| <math>3 \ </math>
| <math>\quad_{(+)}\longrightarrow6</math>
| <math>\quad_{(+)}\longrightarrow10</math>
|-
| <math>4 \ </math>
| <math>\quad_{(+)}\longrightarrow10</math>
|-
| <math>5 \ </math>
|-
| <math>6 \ </math>
| <math>\quad_{(+)}\longrightarrow16</math>
| <math>\quad_{(+)}\longrightarrow26</math>
| <math>\quad_{(+)}\longrightarrow31</math>
| <math>\quad_{(-)}\Rightarrow992</math>
| <math>( = 1023 - 31 ) \ </math>
|-
| <math>7 \ </math>
| <math>\quad_{(+)}\longrightarrow23</math>
| <math>\quad_{(+)}\longrightarrow49</math>
| <math>\quad_{(+)}\longrightarrow80</math>
|-
| <math>8 \ </math>
| <math>\quad_{(+)}\longrightarrow31</math>
| <math>\quad_{(+)}\longrightarrow80</math>
|-
| <math>9 \ </math>
| <math>\quad_{(+)}\longrightarrow40</math>
|-
| <math>10 \ </math>
|-
| <math>11 \ </math>
| <math>\quad_{(+)}\longrightarrow51</math>
| <math>\quad_{(+)}\longrightarrow131</math>
| <math>\quad_{(+)}\longrightarrow211</math>
| <math>\quad_{(-)}\Rightarrow781</math>
| <math>( = 992 - 221 ) \ </math>
|-
| <math>12 \ </math>
| <math>\quad_{(+)}\longrightarrow63</math>
| <math>\quad_{(+)}\longrightarrow194</math>
| <math>\quad_{(+)}\longrightarrow405</math>
|-
| <math>13 \ </math>
| <math>\quad_{(+)}\longrightarrow76</math>
| <math>\quad_{(+)}\longrightarrow270</math>
|-
| <math>14 \ </math>
| <math>\quad_{(+)}\longrightarrow90</math>
|-
| <math>15 \ </math>
|-
| <math>16 \ </math>
| <math>\quad_{(+)}\longrightarrow106</math>
| <math>\quad_{(+)}\longrightarrow376</math>
| <math>\quad_{(+)}\longrightarrow781</math>
| <math>\quad_{(-)}\Rightarrow0</math>
| <math>( = 781 - 781 ) \ </math>
|}
Soit on prend le dernier R1 (appelons le R ) et l'on fait : <math>{\frac {R+N-1}{N}}</math><br/>
donc ici <math>\textstyle{\frac{16+5-1}{5}=\frac{20}{5}=4;\quad 4^5=1024}</math> c'est bien ça !<br/>
Ligne 40 ⟶ 114 :
* <math>4 \ </math>
* <math>5\quad_{(+)}\longrightarrow11\quad_{(+)}\longrightarrow15\quad_{(-)}\Rightarrow\Rightarrow\qquad 0</math> ( = 15 - 15 )
Donc avec R (le dernier R1) : <math>\textstyle{\frac{R+N-1}{N}=\frac{5+4-1}{4}=2\qquad 2^4=16}</math>
Le passage d'une tranche à l'autre est un peu plus délicat (à peine !), il s'effectue lorsque R(N - 1) est devenu supérieur à T.
Il faut tout d'abord finir l'escalier qui précède cette situation embêtante '''SAUF''' la dernière ligne, celle où R1 était seul sans s'ajouter à R2.<br/>Si l'on a poursuivi le calcul jusqu'à cette fameuse soustraction impossible,il suffit de barrer cette dernière ligne et la dernière petite marche juste au-dessus.
Mais,le plus souvent,on s'aperçoit que ça ne "passera plus" avant, alors on termine l'escalier en cours SAUF la dernière petite marche (voir l'exemple) !
Ensuite on multiplie R1 par 10, R2 par 100, R3 par 1000 bref tout les R(N) par 10<sup>N</sup> et l'on abaisse la tranche suivante en T ('' ! ATTENTION !''cette ligne n'a eu aucune addition ou soustraction !).
Enfin on redémarre un escalier mais exceptionnellement on ajoute '''+11''' à R1 au lieu du +1 habituel, R1 s'ajoute à R2 qui s'ajoute à R3...etc et R(N - 1) se soustrait à T.
::Et tout reprend comme avant ...
''Ex'' <math>:\qquad \sqrt[3]{10648}</math>
* '''R1''' '''R2''' '''T''' ( 10 | 648 )
* <math>1\quad_{(+)}\longrightarrow1\quad_{(-)}\Rightarrow\Rightarrow\qquad9</math> ( = 10 - 1 )
Ligne 60 ⟶ 142 :
:Donc : <math>\textstyle{\frac{64+3-1}{3}=22\; ;\quad 22^3=10648 }</math><br/>
<br/><br/>
::Autre exemple ...
'''Ex''' <math>:\qquad \sqrt[4]{10617447681}</math>
* '''R1''' '''R2''' '''R3''' '''T''' ( 106 | 1744 | 7681 )
* <math>1\quad_{(+)}\longrightarrow1\quad_{(+)}\longrightarrow1\quad_{(-)}\Rightarrow\Rightarrow\qquad 105</math> ( = 106 - 1 )
Ligne 84 ⟶ 169 :
* <math> 1270\qquad .\qquad 614400\qquad .\qquad131072000\qquad . \qquad 131687681</math> (on multiplie et abaisse la nouvelle tranche)
* <math>_{+11}1281\,_{(+)}\longrightarrow615681\quad_{(+)}\longrightarrow131687681\quad_{(-)}\Rightarrow\Rightarrow\qquad 0</math>
:Donc : <math>\textstyle{\frac{1281+4-1}{4}=321\; ;\quad 321^4=10617447681 }</math
::''ATTENTION !'' les +11 sont spécifiques au changement de tranche, ils suivent les multiplications, ensuite R1 reprend son +1 à chaque ligne comme avant .<br/><br/>
Cependant il peut arriver (1 fois sur 10) que même aprés avoir descendu une nouvelle tranche la soustraction reste négative, il va alors falloir descendre une nouvelle tranche ( cela correspond en fait au chiffre zéro dans la solution ).<br/>
Il faut alors supprimer la derniére ligne,celle où R1 avait pris +11 ; on garde celle où les R(N) étaient multipliés par 10<sup>N</sup> et on remultiplie à nouveau les R(N) par 10<sup>N</sup> et l'on abaisse une nouvelle tranche. Le plus souvent on s'apercevra que ça ne "passera plus" avant de commencer la ligne du +11 (inutile de calculer ce que l'on va barrer ! On remultiplie direct !). Cette fois-ci on ajoute '''+101''' à R1 au lieu de +11 avant de prolonger la ligne.<br/>
Si cela ne suffit toujours pas à rendre R(N - 1) supérieur à T, on supprime la ligne du +101, on remultiplie de nouveau les R(N) par 10<sup>N</sup>, on abaisse encore une tranche et on essaie avec '''+1001'''... +10001 pour le prochain essai, +100001, +1000001, +10000001 ...etc!!!...
'''Ex''' <math>:\qquad \sqrt[4]{104060401}</math
* '''R1''' '''R2''' '''R3''' '''T''' ( 1 | 0406 | 0401 )
* <math>1\quad_{(+)}\longrightarrow1\quad_{(+)}\longrightarrow1\quad_{(-)}\Rightarrow\Rightarrow\qquad 0</math> (...ça passera plus !...)
Ligne 103 ⟶ 189 :
:Donc : <math>\textstyle{\frac{401+4-1}{4}=101\; ;\quad 101^4=104060401 }</math><br/>
::'''Remarque :'''La tranche "0406" n'a subi aucune soustraction d'où le zéro !
Bon, à partir de maintenant je vais arrêter de noter (+) et (-) avant les flèches.
::Autre exemple...
''Ex'' <math>:\qquad \sqrt[3]{1003003001}</math>
* '''R1''' '''R2''' '''T''' ( 1 | 003 | 003 | 001 )
* <math>1\qquad\longrightarrow\ 1\quad\Rightarrow\Rightarrow\quad \qquad0</math>
Ligne 113 ⟶ 202 :
* <math> 2000\qquad .\quad \quad3000000\qquad . \;3003001</math> ( Là peut'être !)
* <math>_{+1001}3001\longrightarrow3003001\Rightarrow\Rightarrow\quad 0</math>
:Donc : <math>\textstyle{\frac{3001+3-1}{3}=1001\; ;\quad 1001^3=1003003001 }</math>
Voyons maintenant quelques cas particuliers...
'''Ex''' <math>:\qquad \sqrt[5]{3200000}</math>
* '''R1''' '''R2''' '''R3''' '''R4''' '''T''' ( 32 | 00000 )
* <math>1\ \longrightarrow\ 1\ \longrightarrow\ 1\ \longrightarrow\ 1\ \Rightarrow\quad 31</math>
Ligne 131 ⟶ 222 :
Inversement, pour un gain de temps, on peut dans <math>\scriptstyle{\sqrt[5]{0.00032}}</math> abaisser immédiatement la tranche après la virgule à condition de ne pas oublier de '''diviser''' le résultat final par 10 :<br/>
<math>\textstyle{\frac{6+5-1}{5*10} = 0.2\ ;\quad 0.2^5=0.00032}</math><br/><br/>
D'une manière générale, il vaut mieux voir à l'avance si il y a moyen de se simplifier la tâche avec ce genre de multiplication ou de division.
Je suis sûr que tu vois maintenant comment on va se débrouiller avec les décimaux !
''Ex'' <math>:\qquad \sqrt[3]{1.061208}</math>
* '''R1''' '''R2''' '''T''' ( 1 | 061 | 208 )
* <math>1\qquad\longrightarrow\ 1\quad\Rightarrow\quad \qquad0</math>
Ligne 143 ⟶ 237 :
* <math>303 \ </math>
* <math>304\longrightarrow\ 30907\ \Rightarrow\quad 0</math>
:On a descendu deux tranches après la virgule; on divise donc le résultat final par 100 :
<math>\textstyle{\frac{304+3-1}{3*100}=\frac{306}{300}=\frac{102}{100}=1.02\; ;\quad 1.02^3=1.061208 }</math>
[[Catégorie:Calcul écrit (livre)|Calcul de la racine n-ième d'un nombre]]
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