« Exercices de mathématiques/Calculs de dérivées » : différence entre les versions
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fonction rationnelle quotient de deux polynômes monté en début de page |
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* '''Exercice 4 (bis)'''
: ''L'exercice précédent se décline à l'infini en changeant les fonctions affines et les exposants.''
: Montrer que si <math>f(x) = (ax+b)^n(cx+d)^m\,</math> alors <math>f'(x) = ac(n+m)(ax+b)^{n-1}(cx+d)^{m-1} (x - r)\,</math> où ''r'' est la [[w:moyenne#Pondérée|moyenne pondérée]] des racines de <math>ax+b</math> et <math>cx + d</math> affectées des coefficients ''m'' et ''n''. {{Boîte déroulante|titre= Solution|contenu=
: Mêmes formules utilisées que précédemment
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: donc <math>f'(x) = (ax+b)^{n-1}(cx+d)^{m-1}ac(n+m)(x - r)\,</math>
}}
[[Image:eepp deriv hyperbole.png|right|float|64px]]▼
* '''Exercice 1'''▼
: <math>f(x) = {3x-2 \over x + 5}</math>. Calculer <math>f'(x)\,</math>.▼
{{Boîte déroulante|titre=Solution|contenu=▼
:''f'' est une fonction rationnelle donc elle est dérivable sur son ensemble de définition <math>\R - \{-5\}</math>.▼
: Formule utilisée :▼
:: <math>\left({u \over v}\right)' = {u'v - uv'\over v^2}</math>▼
: ''u(x) = 3x - 2, u'(x) = 3, v(x) = x + 5, v'(x) = 1'' donc▼
: <math>f'(x) = {3(x+5)-1(3x-2)\over (x+5)^2}</math>▼
: <math>f'(x) = {17\over (x+5)^2}</math>▼
}}▼
*'''Exercice 1 (bis)'''▼
: ''L'exercice précédent peut se développer à l'infini en changeant les coefficients du numérateur et du dénominateur''▼
: Prouver que si <math>f(x) = {ax+b \over cx + d}</math> alors <math>f'(x) = {ad-bc \over (cx+d)^2}</math>.▼
{{Boîte déroulante|titre=Solution|contenu=▼
:''f'' est une fonction rationnelle donc elle est dérivable sur son ensemble de définition <math>\R - \{-d/c\}</math>.▼
: Formule utilisée :▼
::<math> \left({u \over v}\right)' = {u'v - uv'\over v^2}</math>▼
: ''u(x) = ax + b, u'(x) = a, v(x) = cx + d, v'(x) = c'' donc▼
: <math>f'(x) = {a(cx+d)-c(ax+b)\over (cx+d)^2}</math>▼
: <math>f'(x) = {ad-bc\over (cx+d)^2}</math>▼
}}▼
* '''Exercice 2'''
: <math>f(t)=16t^{-3}+4t^{-2}+15\,</math>. Calculer <math>f'(t)\,</math>.
{{Boîte déroulante|titre=Solution|contenu =
: <math>f(t)=16t^{-3}+4t^{-2}+15\,</math> (fonction originale)
: <math>f'(t)=(16t^{-3})'+(4t^{-2})'+15'\,</math> ([[Formules de dérivation|formule]] 5)
: <math>f'(t)=-48t^{-4}-8t^{-3}+0\,</math> ([[Formules de dérivation|formules]] 3 et 4)
: <math>f'(t)=\frac{-48}{t^4}-\frac{8}{t^3}\,</math> (simplification)
}}
== Dérivées de fonctions avec racines==
Ligne 109 ⟶ 145 :
}}
==Dérivées de fonctions logarithmiques et exponentielles==
[[Image:eepp deriv exp.png|right|float|64px]]
Ligne 136 ⟶ 172 :
}}
▲==Dérivées de fonctions [[w:fonction rationnelle|rationnelles (hyperboliques)]]==
▲[[Image:eepp deriv hyperbole.png|right|float|64px]]
▲* '''Exercice 1'''
▲: <math>f(x) = {3x-2 \over x + 5}</math>. Calculer <math>f'(x)\,</math>.
▲{{Boîte déroulante|titre=Solution|contenu=
▲:''f'' est une fonction rationnelle donc elle est dérivable sur son ensemble de définition <math>\R - \{-5\}</math>.
▲: Formule utilisée :
▲:: <math>\left({u \over v}\right)' = {u'v - uv'\over v^2}</math>
▲: ''u(x) = 3x - 2, u'(x) = 3, v(x) = x + 5, v'(x) = 1'' donc
▲: <math>f'(x) = {3(x+5)-1(3x-2)\over (x+5)^2}</math>
▲: <math>f'(x) = {17\over (x+5)^2}</math>
▲}}
▲*'''Exercice 1 (bis)'''
▲: ''L'exercice précédent peut se développer à l'infini en changeant les coefficients du numérateur et du dénominateur''
▲: Prouver que si <math>f(x) = {ax+b \over cx + d}</math> alors <math>f'(x) = {ad-bc \over (cx+d)^2}</math>.
▲{{Boîte déroulante|titre=Solution|contenu=
▲:''f'' est une fonction rationnelle donc elle est dérivable sur son ensemble de définition <math>\R - \{-d/c\}</math>.
▲: Formule utilisée :
▲::<math> \left({u \over v}\right)' = {u'v - uv'\over v^2}</math>
▲: ''u(x) = ax + b, u'(x) = a, v(x) = cx + d, v'(x) = c'' donc
▲: <math>f'(x) = {a(cx+d)-c(ax+b)\over (cx+d)^2}</math>
▲: <math>f'(x) = {ad-bc\over (cx+d)^2}</math>
▲}}
== Autres dérivées ==
''... à faire...''
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