« Les contraintes du milieu spatial/Le freinage atmosphérique, une contrainte propre aux orbites basses » : différence entre les versions

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Comme nous l'avons explicité dans la première partie de ce TPElivre, la densité de l'air au niveau des orbites basses est très faible. Cependant, les quelques molécules présentent suffisent à ralentir le satellite, en exerçant une force de frottement. Cette force de freinage
 
modifie son vecteur vitesse en norme. La conséquence est une perte d'altitude, donc une limitation de la durée de vie du satellite.
 
 
 
Il ne faut pas attendre une précision élevée lors de l'étude de ces frottements, l'atmosphère étant extrêmement difficile à modéliser.
 
== Forces de traînée et de portance ==
 
=== Définition des forces ===
 
\section{Forces de traînée et de portance}
 
\subsection{Définition des forces}
 
Par convention, l'effet de freinage d'un milieu gazeux est modélisée par la force aérodynamique, décomposée en deux composantes :
*la première, la '''traînée''', opposée au vecteur vitesse ;
 
*la seconde, la '''portance''', normale au vecteur vitesse et dont le sens dépend de l'angle d'incidence.
\begin{itemize}
 
\item la première, la \textbf{traînée}, opposée au vecteur vitesse ;
 
\item la seconde, la \textbf{portance}, normale au vecteur vitesse et dont le sens dépend de l'angle d'incidence.
 
\end{itemize}
 
 
 
La valeur de ces deux forces dépendent de :
*l'altitude ;
*la masse volumique de l'air à l'altitude considérée ;
*le coefficient balistique de l'engin, dépendant de la forme de l'objet, de sa masse et de sa «~facilité » à pénétrer dans un milieu.
 
[[Fichier:Apollo aérodynamique.png|center|500px|thumb|Les composantes de la force aérodynamique sur la capsule de commande Apollo lors du retour sur Terre. Les frottements avec l'atmosphère portent le bouclier thermique à une température de 3 000°C.]]
\begin{itemize}
 
== Modélisation de l'atmosphère terrestre ==
\item l'altitude ;
 
\item la masse volumique de l'air à l'altitude considérée ;
 
\item le coefficient balistique de l'engin, dépendant de la forme de l'objet, de sa masse et de sa «~facilité » à pénétrer dans un milieu.
 
\end{itemize}
 
 
 
\begin{figure}[h]
 
\begin{center}
 
\includegraphics[scale=0.6]{apollo_aerodynamique.png}
 
\caption{Les composantes de la force aérodynamique sur la capsule de commande Apollo lors du retour sur Terre. Les frottements avec l'atmosphère portent le bouclier thermique à une température de 3 000\degres{}C.}
 
\label{goes8_anomalies}
 
\end{center}
 
\end{figure}
 
\subsection{Modélisation de l'atmosphère terrestre}
 
Pour modéliser l'atmosphère terrestre, et obtenir la densité à une altitude donnée, divers modèles sont utilisés. On peut ainsi citer :
*JACCHIA, pour une altitude supérieure à 115 km ;
*CIRA88, pour une altitude inférieure à 120 km. Ce modèle est très utilisé pour les prévisions de retours de débris.
 
Ainsi, à 250 km d'altitude, la densité moyenne est d'environ <math>6,8 \times 10^{-11}</math> kg/m<math>^3</math>.
\begin{itemize}
 
== Effets sur l'orbite ==
\item JACCHIA, pour une altitude supérieure à 115 km ;
 
Le freinage va faire baisser l'énergie mécanique <math>E_m</math> du satellite. Cette diminution va avoir des conséquences directes sur tous les paramètres orbitaux, et principalement sur la valeur du demi-grand axe, qui va baisser.
\item CIRA88, pour une altitude inférieure à 120 km. Ce modèle est très utilisé pour les prévisions de retours de débris.
 
\end{itemize}
 
Considérons une orbite circulaire hors de l'atmosphère, sans frottements. Le vecteur vitesse <math>\vec{V_2}</math> du satellite est tangent à la trajectoire, et le vecteur variation de vitesse <math>\vec{\Delta_V}</math> (tel que <math>\vec{\Delta_V} = \vec{V_0} - \vec{V_2}</math>)
est égal à la somme des forces extérieures (ici la gravité <math>\vec{F_g}</math>) multipliée par un facteur <math>k</math>, selon la deuxième loi de Newton. Il est donc dirigé vers le centre de l'orbite.
 
[[Fichier:Wikibooks - freinage atmosphérique 1.png|Schéma des forces qui s'appliquent au satellite (sans échelle).|thumb|500px|center]]
 
Considérons maintenant une même orbite, mais située dans l'atmosphère. Une force de frottement résistante au mouvement <math>\vec{f}</math> s'ajoute à la somme des forces extérieures au satellite <math>\sum_{\vec{F}}</math>. Montrons quelles en sont les conséquences sur le vecteur vitesse <math>\vec{V_2}</math>.
Ainsi, à 250 km d'altitude, la densité moyenne est d'environ $6,8 \times 10^{-11}$ kg/m$^3$.
 
\section{Effets sur l'orbite}
 
Le freinage va faire baisser l'énergie mécanique $E_m$ du satellite. Cette diminution va avoir des conséquences directes sur tous les paramètres orbitaux, et principalement sur la valeur du demi-grand axe, qui va baisser.
 
D'après la deuxième loi de Newton, pour cette orbite, <math>\vec{\Delta_V}' = k\times\sum_{\vec{F}} \Leftrightarrow k(\vec{F_g} + \vec{f}) \Leftrightarrow \vec{\Delta_V} + k\vec{f}</math>. De là, en considérant que les deux satellites étaient « lâchés » avec la
même vitesse <math>\vec{V_0}</math>, on a le développement suivant :
 
<math>
\vec{\Delta_V}' = \vec{\Delta_V} + k\vec{f}
</math>
 
<math>
Considérons une orbite circulaire hors de l'atmosphère, sans frottements. Le vecteur vitesse $\vec{V_2}$ du satellite est tangent à la trajectoire, et le vecteur variation de vitese $\vec{\Delta_V}$ (tel que $\vec{\Delta_V} = \vec{V_0} - \vec{V_2}$)
\vec{V_2}' - \vec{V_0} = \vec{V_2} - \vec{V_0} + k\vec{f}
 
</math>
est égal à la somme des forces extérieures (ici la gravité $\vec{F_g}$) multipliée par un facteur $k$, selon la deuxième loi de Newton. Il est donc dirigé vers le centre de l'orbite.
 
 
 
\begin{figure}[h]
 
\begin{center}
 
\includegraphics[scale=2.2]{orbite_haute.png}
 
\caption{Schéma des forces qui s'appliquent au satellite (sans échelle).}
 
\end{center}
 
\end{figure}
 
 
 
Considérons maintenant une même orbite, mais située dans l'atmosphère. Une force de frottement résistante au mouvement $\vec{f}$ s'ajoute à la somme des forces extérieures au satellite $\sum_{\vec{F}}$. Montrons quelles en sont les conséquences sur le vecteur vitesse $\vec{V_2}$.
 
 
 
D'après la deuxième loi de Newton, pour cette orbite, $\vec{\Delta_V}' = k\times\sum_{\vec{F}} \Leftrightarrow k(\vec{F_g} + \vec{f}) \Leftrightarrow \vec{\Delta_V} + k\vec{f}$. De là, en considérant que les deux satellites étaient « lâchés » avec la
 
même vitesse $\vec{V_0}$, on a le développement suivant :
 
 
 
\begin{eqnarray}
 
\vec{\Delta_V}' = \vec{\Delta_V} + k\vec{f}\\
 
\vec{V_2}' - \vec{V_0} = \vec{V_2} - \vec{V_0} + k\vec{f}\\
 
<math>
\vec{V_2}' = \vec{V_2} + k\vec{f}
</math>
 
\end{eqnarray}
 
 
Le résultat obtenu dans la dernière équation nous permet de constater que le vecteur vitesse est modifié par l'adjonction de la force de frottement. Désormais, <math>\vec{V_2}'</math> n'est plus tangent mais rentrant au cercle : la trajectoire se transforme en une spirale qui se resserre de plus en
plus en approchant de la Terre, car <math>\vec{V_2}'</math> devient de plus en plus rentrant.
 
[[Fichier:Wikibooks - freinage atmosphérique 2.png|thumb|center|500px|Schéma de l'orbite basse avec un vecteur vitesse rentrant (sans échelle).]]
Le résultat obtenu dans l'équation 6.3 nous permet de constater que le vecteur vitesse est modifié par l'adjonction de la force de frottement. Désormais, $\vec{V_2}'$ n'est plus tangent mais rentrant au cercle : la trajectoire se transforme en une spirale qui se resserre de plus en
 
plus en approchant de la Terre, car $\vec{V_2}'$ devient de plus en plus rentrant.
 
 
 
\begin{figure}[h]
 
\begin{center}
 
\includegraphics[scale=1.5]{orbite_basse.png}
 
\caption{Schéma de l'orbite basse avec un vecteur vitesse rentrant (sans échelle).}
 
\end{center}
 
\end{figure}
 
 
 
Le satellite va alors pénétrer dans les couches denses de l'atmosphère à une vitesse élevée, où il sera brûlé en raison des frottements en une dizaine de minutes. Les véhicules spatiaux habités sont munis d'un bouclier thermique pour éviter aux passagers
 
ces désagréments. C'est une fissure dans le bouclier thermique de la navette spatiale américaine \textit{''Columbia}'' qui a conduit à sa désintégration en 2003\footnote{\textsc{<ref>Chien}, Philip : \og« \textit{''Columbia : final voyage, the last flight of NASA's first space shuttle}'' \fg», préfacé par Edwin « Buzz » \textsc{Aldrin}, 460 pages. Éditions Copernicus, 2006. ISBN 0-387-27148-1}</ref>.
 
Paradoxalement, le freinage par l'atmosphère a pour effet d'accélérer le satellite. Pour l'expliquer, il faut savoir, comme nous l'avons expliqué au début de ce TPE, que chaque satellite «~tombe » en permanence autour de la Terre, soumis à l'accélération de la pesanteur terrestre <math>g</math>.
 
 
Paradoxalement, le freinage par l'atmosphère a pour effet d'accélérer le satellite. Pour l'expliquer, il faut savoir, comme nous l'avons expliqué au début de ce TPE, que chaque satellite «~tombe » en permanence autour de la Terre, soumis à l'accélération de la pesanteur terrestre $g$.
 
Si cette attraction n'existait pas, la trajectoire du satellite serait une ligne droite. Mais ici, on peut dire en approximation que l'amplitude de la chute compense l'éloignement du centre de la Terre.
 
[[Fichier:Wikibooks - freinage atmosphérique 3.png|thumb|center|500px|L'orbite freinée.]]
 
Sur la figure précédente, <math>D</math> représente la trajectoire qu'aurait parcouru le satellite s'il n'était pas attiré par la Terre. La déviation due à cette attraction est représentée par <math>d</math> ; <math>R</math> est la distance au centre de la Terre. Le satellite, placé sur une orbite circulaire dans l'exemple présenté,
 
\begin{figure}[h]
 
\begin{center}
 
\includegraphics[scale=2.5]{pythagore1.png}
 
\caption{L'orbite freinée.}
 
\label{pythagore}
 
\end{center}
 
\end{figure}
 
 
 
Sur la figure \ref{pythagore}, $D$ représente la trajectoire qu'aurait parcouru le satellite s'il n'était pas attiré par la Terre. La déviation due à cette attraction est représentée par $d$ ; $R$ est la distance au centre de la Terre. Le satellite, placé sur une orbite circulaire dans l'exemple présenté,
 
doit se retrouver à équidistance de ce centre en tout point de son orbite.
 
On cherche maintenant la valeur de <math>D</math> en fonction de <math>R</math> et <math>d</math>. Le plus pratique semble d'appliquer le théorème de Pythagore. On peut ainsi écrire :
<math>
a^2 + b^2 = c^2
</math>
 
<math>
D^2 + R^2 = (R + d)^2
</math>
 
<math>
On cherche maintenant la valeur de $D$ en fonction de $R$ et $d$. Le plus pratique semble d'apliquer le théorème de Pythagore. On peut ainsi écrire :
R^2 + D^2 = R^2 + 2 \times R \times d + d^2~(produit~remarquable)
 
</math>
 
 
\begin{eqnarray}
 
a^2 + b^2 = c^2\\
 
D^2 + R^2 = (R + d)^2\\
 
R^2 + D^2 = R^2 + 2 \times R \times d + d^2~(produit~remarquable)\\
 
<math>
D^2 = 2 \times R \times d + d^2
</math>
 
Ce calcul est bien entendu une approximation, et ne marche qu'avec des valeurs de <math>D</math> et <math>d</math> fort petites. Ainsi, <math>d^2</math> devient négligeable dans l'équation précédente et on peut écrire que <math>D = \sqrt{2Rd}</math>.
\end{eqnarray}
 
Appliquons ces résultats à des exemples concrets, par exemple dans le cas d'une orbite circulaire de 300 km d'altitude. Au sol, la pesanteur vaut 9,81 m/s². Cependant, cette valeur diminue avec l'altitude. Elle est donc égale, à <math>6370 + 300 = 6670</math> km
 
d'altitude, à <math>9,81 \times \frac{6370}{6670} = 9,37</math> m/s² environ. Cela signifie qu'en une seconde, la vitesse du satellite est passée de 0 à 9,37 m/s, soit en moyenne <math>4,685</math> m/s. Le satellite est donc tombé de 4,7 mètres environ : c'est la distance <math>d</math>.
 
Connaissant <math>d</math>, on peut donc calculer <math>D</math> : <math>\sqrt{2 \times 6670000 \times 4,7} = 7918</math> mètres. De là, on en déduit la vitesse de satellisation à cette altitude : 7900 m/s, soit 7,9 km/s.
Ce calcul est bien entendu une approximation, et ne marche qu'avec des valeurs de $D$ et $d$ fort petites. Ainsi, $d^2$ devient négligeable dans l'équation 6.7 et on peut écrire que $D = \sqrt{2Rd}$.
 
 
 
Appliquons ces résultats à des exemples concrets, par exemple dans le cas d'une orbite circulaire de 300 km d'altitude. Au sol, la pesanteur vaut 9,81 m/s². Cependant, cett valeur diminue avec l'altitude. Elle est donc égale, à $6370 + 300 = 6670$ km
 
d'altitude, à $9,81 \times \frac{6370}{6670} = 9,37$ m/s² environ. Cela signifie qu'en une seconde, la vitesse du satellite est passée de 0 à 9,37 m/s, soit en moyenne $4,685$ m/s. Le satellite est donc tombé de 4,7 mètres environ : c'est la distance $d$.
 
 
 
Connaissant $d$, on peut donc calculer $D$ : $\sqrt{2 \times 6670000 \times 4,7} = 7918$ mètres. De là, on en déduit la vitesse de satellisation à cette altitude : 7900 m/s, soit 7,9 km/s.
 
 
 
Sachant que la pesanteur diminue en fonction du carré de la distance, on déduit que la vitesse de satellisation diminue quand l'altitude augmente. C'est pour cette raison qu'un satellite qui se rapproche de la Terre accélère.
 
== Durées de vie indicatives ==
 
 
\section{Durées de vie indicatives}
 
À titre d'exemple, le satellite Spot-5 du CNES, sur une orbite à 822 km d'altitude, descend de 2,5 mètres par jour.
 
 
 
\begin{figure}[h]
Ligne 241 ⟶ 134 :
\end{figure}
 
== Solutions apportées ==
 
 
\section{Solutions apportées}
 
Comme pour les contraintes électrostatiques et magnétiques, peu de solutions « actives » existent. Au sol, lors de la planification de la mission, les ingénieurs tentent de choisir des orbites hautes, afin de limiter les passages dans l'atmosphère.
 
Cette orbite est généralement maintenue au-dessus de 300 km pour que leur durée de vie ne soit pas trop brève. Des opérations de réhaussementrehaussement de l'orbite, utilisant les propulseurs du satellite, sont conduites régulièrement (en général une fois par mois).
 
 
 
\begin{figure}[h]
 
\begin{center}
 
\includegraphics[scale=0.09]{goce.jpg}
 
\caption{Vue d'artiste de GOCE. Source : ESA}
 
\end{center}
 
\end{figure}
 
 
 
Le satellite GOCE (\textit{Gravity Field and Steady-State Ocean Circulation Explorer}), dont l'orbite oscille vers 250 km d'altitude, a été conçu avec une forme aérodynamique pour limiter la traînée. Ce « format » particulier empêche l'installation de panneaux solaires
 
Le satellite GOCE (''Gravity Field and Steady-State Ocean Circulation Explorer''), dont l'orbite oscille vers 250 km d'altitude, a été conçu avec une forme aérodynamique pour limiter la traînée. Ce « format » particulier empêche l'installation de panneaux solaires
extérieurs, qui agiraient comme des voiles. Les panneaux sont donc montés directement sur le corp de l'engin, et ne sont donc pas orientables.
extérieurs, qui agiraient comme des voiles. Les panneaux sont donc montés directement sur le corps de l'engin, et ne sont donc pas orientables.