« Analyse/Équation différentielle » : différence entre les versions

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*On divise par y<sub>3</sub>. Ainsi <math>x \times y'/y^3 + y/y^{3} = 1\,</math> ou <math>xy'y^{-3} + y^{-2} = 1\,</math>.<br />On pose <math>z(x) = y^{-2}\,</math> et <math>z'(x) = -2y^{-3}y'\,</math> et on effectue le changement <math>x/-2 \times z'(x) + z(x) = 1\,</math>
* On résoud l'équation sans second membre : <math>x/-2 \times z'(x) + z(x) = 0\,</math><br /><math>z'(x) = 2/x \times z(x)\,</math><br /><math>z'(x)/z(x) = 2/x\,</math><br /><math>ln(z(x)) = 2ln(x) + k\,</math><br /><math>z(x) = exp(ln(x^2) \times k)= Kexp(x^2)\,</math> avec <math>K = exp(k)\,</math>
* On fait varier la constante K, <math>K \Rightarrow K(x)\,</math><br /><math>z(x) = K(x) \times x^2</math> et <math>z'(x) = K'(x)x^2 + 2K(x)\,</math><br />On insère dans (1): <math>x/-2[K'(x)x^2 +2K(x)x] + K(x)x^2 = 1\,</math><br /><math>-1/2 \times K'(x)x^3 - K(x)x^2 + K(x)x^2 = 1\,</math><br /><math>K'(x) = -2x^{-3}</math><br /><math>K(x) = x^{-2} + C\,</math><br />Ainsi <math>z(x) = (-2x^{-2} + 2)x^2\,</math><br /><math>z(x) = 1 + Cx^2\,</math><br /><math>z(x) = 1/y^2 \Rightarrow y^2 = 1/z = 1/(1 + Cx^2)\,</math><br />Si <math>1 + Cx^2 > 0\,</math>alors <math>y(x) = \pm 1/\sqrt{1 + Cx^2)}\,</math>
 
== Equation différentielle du deuxième ordre ==