« Analyse/Équation différentielle » : différence entre les versions
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Ligne 54 :
<math>(x+1)y'+2y = 1/(x+2)\,</math> (que l'on nomme (1))
* On y associe une équation sans second membre : <math>(x+1)y' + 2y = 0
* La solution générale de (1) s'obtient en aloutant la solution générale de (0) à la solution particulière de (1).
* On résoud l'équation sans second membre (0). Cela donne la solution générale de (0).
<math>(x+1)y' + 2y = 0\,</math><br /><math>(x+1)y' = -2y\,</math><br /><math>y'/y = -2(x+1)\,</math><br /><math>ln(y) = -2ln(x+1) + k\,</math><br /><math>y(x) = exp(-2ln(x+1))exp(k)\,</math><br /><math>y(x) = K
* On cherche la solution la solution particulière de (1). Pour cela on fait varier la constante K. <math>K \Rightarrow K(x)</math>. Ainsi <math>y(x) = K(x)\times 1/(x+1)²</math> et y'(x) = K'(x)*1/(x+1)² + K(x)*(-2/(x+1)^3). On insère dans (1).<br />(x+1)<nowiki>[K'(x)*1/(x+1)² + K(x)*(-2/(x+1)^3)]</nowiki> + 2K(x)*1/(x+1)² = 1(x+2)<br />K'(x)*1(x+1) = 1/(x+2)<br />K'(x) = (x+1)/(x+2)<br />or (x+1) = (x+2) - 1<br />ainsi K'(x) = (x+2)/(x+2) - 1/(x+2)<br />K(x) = x - ln(x+2) + k<br />
*La solution particulière de (1) est Yp(x) = (x - ln(x+2))/(x+1)² et la solution générale de (1) est la somme de la solution générale de (0) et de la solution particulière de (1) soit Y(x) = K/(x+1)² + (x-ln(x+2))/(x+1)²
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