« Suite de Conway » : différence entre les versions
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m en fait, la première occurrence date de 1986 dans le magazine de l'université de Cambridge |
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La '''suite de Conway''' est une [[Suite (mathématiques)|suite]] inventée en [[
== Définition ==
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* Aucun terme de la suite ne comporte un chiffre supérieur à 3.
* Tous les termes de la suite possèdent un nombre pair de chiffres, sauf le terme initial.
* Les termes de rang impair se terminent par 11 et les termes de rang pair par 21 (là encore à l'exception du terme initial).
* En moyenne, les termes de la suite possèdent 50 % de chiffres 1, 31 % de 2 et 19 % de 3.
* Le nombre de chiffres du n{{e}} terme de la suite est proportionnel à <math>\lambda^n</math>, où <math>\lambda \approx 1,303577269 </math> est un [[nombre algébrique]] de degré 71 nommé [[constante de Conway]]. Plus précisément, si on note <math>L_n</math> le nombre de chiffre du n{{e}} terme de la suite, alors :
*:<math>\lim_{n \to +\infty}\frac{L_{n+1}}{L_{n}} = \lambda</math>
:Cette propriété reste vraie dans le cas général où le premier terme de la suite est choisi différent de 1.
[[Image:Conway constant.png|
La constante de Conway est l'unique solution réelle positive de l'[[équation polynomiale]] suivante :
: <math> x^{71}-x^{69}-2x^{68}-x^{67}+2x^{66}+2x^{65}+x^{64}-x^{63}-x^{62}-x^{61}-x^{60}-x^{59}+ </math>
Ligne 44 :
: <math> 7x^{21}+9x^{20}+3x^{19}-4x^{18}-10x^{17}-7x^{16}+12x^{15}+7x^{14}+2x^{13}-12x^{12}-4x^{11}- </math>
: <math> 2x^{10}+5x^9+x^7-7x^6+7x^5-4x^4+12x^3-6x^2+3x-6=0</math>
▲[[Image:Conway constant.png|frame|solutions du polynome de Conway sur le plan complexe.]]
=== « Désintégration audioactive » ===
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John Conway qualifia initialement cette suite de « désintégration audioactive » (''audioactive decay'' en anglais), un jeu de mots sur la [[Radioactivité|désintégration radioactive]], en remarquant le comportement des différents termes de la suite.
Il montra qu'à partir d'un certain point, ''presque tous'' les termes de la suite peuvent être décomposés en 92 sous-termes (nommés éléments, par analogie avec les [[Élément chimique|éléments chimiques]]) qui se décomposent au terme suivant en un certain nombre d'autres éléments.
Par exemple, l'élément le plus simple, nommé [[hydrogène]], est la séquence <math>22</math> qui donne elle-même au terme suivant. La séquence <math>3113322112</math> est dénommée [[manganèse]] ; au terme suivant, elle donne <math>132123222112</math> qui se décompose en les séquences [[prométhium]] (<math>132</math>) et [[sodium]] (<math>123222112</math>).
Il a été montré que si l'on débute la suite par le terme [[uranium]] <math>3</math>, les 91 autres éléments seront apparus dans un terme ou un autre au bout de 91 itérations. Cette suite porte d'ailleurs en anglais le terme de ''Conway's sequence''.
[[Image:
On peut très facilement avec une [[fonction récursive]], ou avec les [[Structure de contrôle#Boucles
<div class="exemple">
<source lang="php">
<?php
$a1 = array('1', '2', '3');
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echo conway(3, $str = '1', $i = 0);
// Execution : cela affichera 3 lignes de la suite ?>
</source>
</div>
Voici un bout de code écrit en C++ permettant d'afficher les n premières lignes de la suite de Conway. L'entier n est lu au clavier :
<div class="exemple">
<source lang="cpp">
#include <iostream>
#include <list>
Ligne 149 ⟶ 153 :
return 0;
}
</source>
</div>
===
<div class="exemple">
<source lang="haskell">
conway = iterate step [1] where
step l = [f x | x <- group l, f <- [length,head] ]
</source>
</div>
===
<div class="exemple">
<source lang="perl">
for ( $_=1;; ) { say; s/((.)\2*)/length($1).$2/xeg; }
</source>
</div>
===
<div class="exemple">
<source lang="python">
import itertools
Ligne 173 ⟶ 190 :
for i in range(10):
print suite.next()
</source>
</div>
== Références ==
{{Références}}
== Annexes ==
Ligne 181 ⟶ 203 :
=== Liens externes ===
* {{en}} [http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=A005150 Suite A005150] sur l'[[Encyclopédie
* {{en}} [[Eric W. Weisstein]], « [http://mathworld.wolfram.com/LookandSaySequence.html
* {{en}} Henry Bottomley, « [http://www.btinternet.com/~se16/js/lands2.htm Evolution of Conway's 92 Look and Say audioactive elements] » : une compilation des 92 éléments « audioactifs » de la suite
{{portail mathématiques}}
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