Différences entre les versions de « Savoirs fondamentaux du programme de MPSI/Mathématiques/Fonctions usuelles »

 
== Bijections réciproques des fonctions trigonométriques ==
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=== La fonction arctan ===
|+ Tableau récapitulatif
==== Définition ====
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* <math>\scriptstyle \tan : ] \frac{-\pi}2 , \frac{\pi}2 [ \rightarrow \R</math> est '''continue strictement croissante'''. <br /><math>\tan</math> est donc une '''bijection''' de <math>\scriptstyle ] \frac{-\pi}2 , \frac{\pi}2 [</math> sur <math>\scriptstyle \R</math>.
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* On appelle '''arctangente''' la bijection réciproque de <math>\scriptstyle \tan : ] \frac{-\pi}2 , \frac{\pi}2 [ \rightarrow \R</math>. <br />La fonction <math>\scriptstyle \arctan : \R \rightarrow ] \frac{-\pi}2 , \frac{\pi}2 [</math> est continue strictement croissante, et caractérisée par : <math>\textstyle x = arctan y \Leftrightarrow \begin{cases} \tan x = y \\ x \in \; ] \frac{-\pi}2 , \frac{\pi}2 [ \end{cases}</math>
! scope=col | Domaine de définition
==== Dérivabilité ====
! scope=col | Domaine d'arrivée
* <math>\arctan</math> est dérivable sur <math>\scriptstyle \R</math> <br />et <math>\scriptstyle \forall y \in \R, \arctan'(y) = \frac1{1+y^2}</math>
! scope=col | Domaine de dérivabilité
==== Propriétés ====
! scope=col | Dérivée
* <math>\arctan</math> est une fonction impaire : <math>\scriptstyle \forall y \in R , \arctan(-y) = - \arctan(y)</math>
! scope=col | Parité
 
! scope=col | Autres infos
=== La fonction arcsin ===
|-
=== La fonction arccos ===
! scope=row | <math>\tan</math>
|<math>] \frac{-\pi}2 , \frac{\pi}2 [</math>
|<math>\R</math>
|<math>\R</math>
|<math>\arctan'(y) = \frac1{1+y^2}</math>
|impaire
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*<math>\scriptstyle \lim_{y \to +\infty} \arctan(y) = \frac{\pi}2</math>
*<math>\scriptstyle \lim_{y \to -\infty} \arctan(y) = \frac{-\pi}2</math>
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