Différences entre les versions de « Savoirs fondamentaux du programme de MPSI/Mathématiques/Fonctions usuelles »

m (→‎Dérivabilité : sauvegarde du brouillon en cours)
* On dit que <math>f</math> est dérivable en <math>\scriptstyle a \in I</math> si <math>\scriptstyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}h</math> existe. <br />Dans ce cas, on note <math>f'(a)</math> ce nombre réel appelé ''le nombre dérivé de <math>f</math> en <math>a</math>''.
* On dit que <math>f</math> est dérivable sur un intervalle <math>I</math> si <math>f</math> est dérivable en tout point de <math>I</math>. <br />Dans ce cas, on appelle ''dérivée de <math>f</math>'' la fonction <math>f' : \begin{array}{llll} _{I \rightarrow \R} \\ ^{x \rightarrow f'(x)} \end{array}</math>.
==== PropriétéDérivée surd'une la compositioncomposée de fonctions ====
* Soit <math>\scriptstyle g : J \rightarrow \R</math> une fonction où <math>J</math> est un intervalle tel que <math>\scriptstyle f(I) \subset J</math>.
* Si <math>f</math> est dérivable sur <math>I</math> et <math>g</math> dérivable sur <math>J</math>, alors : <br /><math>g \circ f : \begin{array}{llll} _{I \rightarrow \R} \\ ^{x \rightarrow g[f(x)]} \end{array}</math> est dérivable sur <math>I</math> et <math>\scriptstyle (g \circ f)' = (g' \circ f) \cdot f'</math>
==== PropriétéDérivée surde l'inversela réciproque d'une fonction ====
* Soit <math>\scriptstyle f : I \rightarrow \R</math> une fonction continue strictement monotone.
*#* Si <math>f</math> est dérivable en <math>\scriptstyle a \in I</math>, <math>f^{-1}</math> est dérivable au point <math>f(a)</math> si et seulement si <math>\scriptstyle f'(a) \neq 0</math>, et on a alors : <math>(f^{-1})'(f(a)b) = \frac1{f'(af^{-1}(b))}</math>
** Si <math>f</math> est dérivable sur <math>I</math> et <math>\scriptstyle \forall x \in I, f'(x) \neq 0</math>, alors <math>f^{-1}</math> est dérivable sur <math>f(I)</math> et <math>(f^{-1})' = \frac1{f' \circ f^{-1}}</math>.
 
=== Propriétés utiles sur les variations ===
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