Différences entre les versions de « Savoirs fondamentaux du programme de MPSI/Mathématiques/Fonctions usuelles »

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== Généralités ==
=== Notions d'injection, de surjection et de bijection ===
==== Définitions ====
* On dit que la fonction <math>f</math> est '''injective''' si : <math>\forall (x,y) \in E^2, f(x)=f(y) \Rightarrow x=y</math>
* On dit que la fonction <math>f</math> est '''surjective''' si : <math>\forall y \in F, \exists x \in E, y=f(x)</math>
* On dit que la fonction <math>f</math> est dite '''bijective''' si elle est à la fois injective et surjective, donc si : <math>\forall y \in F, \exists !x \in E, y=f(x)</math>
==== Bijection réciproque ====
* Si <math>\scriptstyle f : E \rightarrow F</math> est bijective, on appelle '''bijection réciproque''' de <math>f</math> l'application <math>f^{-1} : \begin{array}{llll} _{F \rightarrow E} \\ ^{y \rightarrow x} \end{array}</math> <br />où <math>x</math> est l'unique antécédent de <math>y</math> par <math>f</math>.
 
=== Continuité ===
* Soit <math>\scriptstyle x_0 \in I</math> et <math>f</math> une fonction. On dit que <math>f</math> est continue en <math>x_0</math> si <math>\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)</math>
* De manière équivalente, <math>f</math> est continue en <math>x_0</math> si et seulement si, pour toute suite <math>(u_n)_{n>0}</math> qui converge, la suite <math>\scriptstyle (f(u_n))_{n \geqslant 0}</math> converge vers <math>f(x_0)</math>.
 
=== Dérivabilité ===
* On dit que <math>f</math> est dérivable en <math>\scriptstyle a \in I</math> si <math>\scriptstyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}h</math> existe. <br />Dans ce cas, on note <math>f'(a)</math> ce nombre réel appelé ''le nombre dérivé de <math>f</math> en <math>a</math>''.
* On dit que <math>f</math> est dérivable sur un intervalle <math>I</math> si <math>f</math> est dérivable en tout point de <math>I</math>. <br />Dans ce cas, on appelle ''dérivée de <math>f</math>'' la fonction <math>f' : \begin{array}{llll} _{I \rightarrow \R} \\ ^{x \rightarrow f'(x)} \end{array}</math>.
 
=== Propriétés utiles sur les variations ===
==== Variations de fonctions ====
** <math>f</math> est une bijection de <math>I</math> sur <math>f(I)</math>,
** <math>f^{-1}</math> est continue et strictement monotone de même sens que <math>f</math>.
=== Continuité ===
* Soit <math>\scriptstyle x_0 \in I</math> et <math>f</math> une fonction. On dit que <math>f</math> est continue en <math>x_0</math> si <math>\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)</math>
* De manière équivalente, <math>f</math> est continue en <math>x_0</math> si et seulement si, pour toute suite <math>(u_n)_{n>0}</math> qui converge, la suite <math>\scriptstyle (f(u_n))_{n \geqslant 0}</math> converge vers <math>f(x_0)</math>.
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