« Savoirs fondamentaux du programme de MPSI/Mathématiques/Fonctions usuelles » : différence entre les versions
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=== Bijection réciproque ===
* Si <math>\scriptstyle f : E \rightarrow F</math> est bijective, on appelle '''bijection réciproque''' de <math>f</math> l'application <math>f^{-1} : \begin{array}{llll} _{F \rightarrow E} \\ ^{y \rightarrow x} \end{array}</math> <br />où <math>x</math> est l'unique antécédent de <math>y</math> par <math>f</math>.
=== Propriétés utiles sur les variations ===
==== Variations de fonctions ====
* On dit que <math>f</math> est '''croissante''' si : <math>\forall (x,y) \in I^2, x \leqslant y \Rightarrow f(x) \leqslant f(y)</math>
* On dit que <math>f</math> est '''strictement croissante''' si : <math>\forall (x,y) \in I^2, x < y \Rightarrow f(x) < f(y)</math>
* On dit que <math>f</math> est '''décroissante''' si : <math>\forall (x,y) \in I^2, x \leqslant y \Rightarrow f(x) \geqslant f(y)</math>
* On dit que <math>f</math> est '''strictement décroissante''' si : <math>\forall (x,y) \in I^2, x < y \Rightarrow f(x) > f(y)</math>
==== Cas de stricte monotonie ====
* Si <math>\scriptstyle f : I \rightarrow \R</math> est '''<u>strictement</u> monotone''', alors <math>f</math> est '''injective'''.
* En particulier, si elle est '''continue''', <math>\scriptstyle f : I \rightarrow f(I)</math> est '''bijective'''.
* De plus, <math>\scriptstyle f^{-1} : f(I) \rightarrow I</math> est strictement monotone '''de même sens''' que <math>f</math>.
==== Théorème ====
* Soit <math>\scriptstyle f : I \rightarrow \R</math> une fonction continue strictement monotone. Alors :
** <math>f(I)</math> est un <u>intervalle</u>,
** <math>f</math> est une bijection de <math>I</math> sur <math>f(I)</math>,
** <math>f^{-1}</math> est continue et strictement monotone de même sens que <math>f</math>.
=== Continuité ===
* Soit <math>\scriptstyle x_0 \in I</math> et <math>f</math> une fonction. On dit que <math>f</math> est continue en <math>x_0</math> si <math>\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)</math>
* De manière équivalente, <math>f</math> est continue en <math>x_0</math> si et seulement si, pour toute suite <math>(u_n)_{n>0}</math> qui converge, la suite <math>\scriptstyle (f(u_n))_{n \geqslant 0}</math> converge vers <math>f(x_0)</math>.
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