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== Rappels sur les nombres complexes ==
== Version 1 ==
* <math>\forall z \in \C, Re(z) = \frac{z+\bar z}2 \text{ et } Im(z) = \frac{z-\bar z}{2i}</math>
* <math>\mathbf{In\acute{e}galit\acute{e}~triangulaire~:~} |z+z'| \leqslant |z|+|z'|</math>
* <math>\mathrm{Pour~tous~r\acute{e}els~} a,b \mathrm{~v\acute{e}rifiant~} a^2+b^2=1 \mathrm{,~il~existe~un~r\acute{e}el~} \theta \mathrm{~tel~que~:~} a = \cos \theta \mathrm{~et~} b = \sin \theta</math>
 
== Rappels sur la trigonométrie ==
== Version 2 ==
=== Dérivée des fonctions usuelles ===
* <math>\forall z \in \C, Re(z) = \frac{z+\bar z}2 \text{ et } Im(z) = \frac{z-\bar z}{2i}</math>
* '''Inégalité triangulaire''' : <math>|z+z\cos'|(x) = -\leqslant |z|+|z'|sin(x)</math>
* <math>\sin'(x) = \cos(x)</math>
* Pour tous réels <math>a,b</math> vérifiant <math>a^2+b^2=1</math>, il existe un réel <math>\theta</math> tel que : <math>a = \cos \theta</math> et <math>b = \sin \theta</math>
* <math>\tan'(x) = \frac1{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x)</math>
=== Cosinus, sinus et tangente d'une somme ===
* <math>\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)</math>
* <math>\cos(a-b) = \cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)</math>
* <math>\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)</math>
* <math>\sin(a-b) = \sin(a)\cos(b)-\cos(a)\sin(b)</math>
* <math>\tan(a+b) = \frac{\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)}</math>
* <math>\tan(a-b) = \frac{\tan(a)-\tan(b)}{1+\tan(a)\tan(b)}</math>
=== Produit de cosinus, sinus ou tangente ===
* <math>\cos(a)\cos(b) = \frac12 (\cos(a-b)+\cos(a+b))</math>
* <math>\sin(a)\sin(b) = \frac12 (\cos(a-b)-\cos(a+b))</math>
* <math>\sin(a)\cos(b) = \frac12 (\sin(a+b)+\sin(a-b))</math>
* <math>\cos(a)\sin(b) = \frac12 (\sin(a+b)-\sin(a-b))</math>
=== Somme de cosinus, sinus ou tangente ===
* <math>\sin(p)+\sin(q) = 2 \sin(\frac{p+q}2)\cos(\frac{p-q}2)</math>
* <math>\sin(p)-\sin(q) = 2 \cos(\frac{p+q}2)\sin(\frac{p-q}2)</math>
* <math>\cos(p)+\cos(q) = 2 coq(\frac{p+q}2)\cos(\frac{p-q}2)</math>
* <math>\cos(p)-\cos(q) = -2 \sin(\frac{p+q}2)\sin(\frac{p-q}2)</math>
=== Formules de duplication ===
* <math>\cos(2x) = \cos^2(x)-\sin^2(x) = 2\cos^2(x)-1 = 1-2\sin^2(x)</math>
* <math>\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)</math>
* <math>\tan(2x) = \frac{2 \tan(x)}{1-\tan^2(x)}</math>
=== Formules de linérisation ===
* <math>\cos^2(x) = \frac{1+\cos(2x)}2</math>
* <math>\sin^2(x) = \frac{1-\cos(2x)}2</math>
=== Substitution de la tangente ===
<math>\mathrm{On~pose~} t = \tan(\frac{x}2)</math>
* <math>\sin(x) = \frac{2t}{1+t^2}</math>
* <math>\cos(x) = \frac{1-t^2}{1+t^2}</math>
* <math>\tan(x) = \frac{2t}{1-t^2}</math>
 
 
== Formules avancées ==
=== Formule d'Euler ===
* <math>\textstyle \cos(x) = Re(e^{i\theta}) = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}2</math>
* <math>\textstyle \sin(x) = Im(e^{i\theta}) = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}</math>
* <math>\mathbf{Remarque~:} \mathrm{~On~utilisera~ces~deux~formules~pour~lin\acute{e}ariser~des~expressions~de~la~forme~} \cos^p(\theta)+\sin^n(\theta)</math>
=== Formule de Moivre ===
* <math>\mathrm{Soient~} \theta \in \R \mathrm{~et~} n \in \N \mathrm{,~alors~:}</math><br /><math>\cos(n\theta)+i\sin(n\theta) = e^{in\theta} = (e^{i\theta})^n = (\cos\theta+i\sin\theta)^n</math>
=== Binôme de Newton ===
* <math>\mathrm{Rappel~:~} \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}</math>
* <math>\mathrm{Soient~} a, b \mathrm{~des~nombres~r\acute{e}els~ou~complexes~et~} n \mathrm{~un~entier~naturel}</math><br /><math>(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k</math>
=== Application du binôme ===
* <math>\mathrm{Soient~} \theta \in \R \mathrm{~et~} n \in \N \mathrm{,~alors~:}</math><br /><math>\cos(n\theta) = \sum_\overset{k=0}{\text{k pair}}^\overset{{\color{White}n}}{n} \binom{n}{k} \cos^{n-k}(\theta) i^k \sin^k(\theta)</math> <br /><math>\sin(n\theta) = \frac12 \sum_\overset{k=0}{\text{k impair}}^\overset{{\color{White}n}}{n} \binom{n}{k} \cos^{n-k}(\theta) i^k \sin^k(\theta)</math>
 
 
== Racines n{{ième}} d'un nombre complexe d'équations du second degré ==
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