« Approfondissements de lycée/Nombres complexes » : différence entre les versions

Là encore, on constate qu'il vaut mieux utiliser la notation algébrique pour les additions et la notation géométrique pour les multiplications.
 
== En présentation matricielle <math> Z = \begin{bmatrix} x & -y \\ y & x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \rho & 0 \\ 0 & \rho \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \,</math> ===
 
Nous avons vu que le produit de deux nombres complexes pouvait se mettre par exemple sous la forme
 
Multiplier ''z' '' par un nombre complexe de module unité et d'argument ''θ'' a pour effet de changer son argument sans changer son module. Cela revient à lui appliquer une rotation vectorielle d'angle ''θ''. La matrice d'une telle rotation est de la forme :
:<math> \begin{bmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & cos \theta \end{bmatrix} = \cos \theta \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \sin \theta \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \cos \theta I + \sin \theta J \,</math>
 
'''''<tt>J</tt>''''' est la matrice de la rotation d'un quart de tour.
 
Par conséquent, multiplier un nombre complexe &nbsp;''z' ''&nbsp; par un autre nombre complexe &nbsp;''z''&nbsp; de module &nbsp;''ρ''&nbsp; et d'argument &nbsp;''θ''&nbsp; revient à lui appliquer la composée d'une homothétie vectorielle de rapport ''ρ'' et d'une rotation vectorielle d'angle ''θ'', c'est-à-dire d'une similitude vectorielle d'angle ''θ'' et de rapport ''ρ''. La matrice d'une telle similitude est de la forme :
:<math> \rho I . (\cos \theta I + \sin \theta J) = \rho \cos \theta I + \rho \sin \theta J = x I + y J = \begin{bmatrix} x & -y \\ y & x \end{bmatrix} \,</math>
 
Dans le plan, une rotation d'un demi-tour équivaut à une symétrie centrale, qui change les coordonnées en leur opposées. La matrice associée est donc &nbsp;- ''<tt>I</tt>''. &nbsp; On vérifie que :
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