« Approfondissements de lycée/Nombres complexes » : différence entre les versions
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Ligne 489 :
Là encore, on constate qu'il vaut mieux utiliser la notation algébrique pour les additions et la notation géométrique pour les multiplications.
== En présentation matricielle <math> Z = \begin{bmatrix} x & -y \\ y & x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \rho & 0 \\ 0 & \rho \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \,</math> ===
Nous avons vu que le produit de deux nombres complexes pouvait se mettre par exemple sous la forme
Ligne 502 :
Multiplier ''z' '' par un nombre complexe de module unité et d'argument ''θ'' a pour effet de changer son argument sans changer son module. Cela revient à lui appliquer une rotation vectorielle d'angle ''θ''. La matrice d'une telle rotation est de la forme :
:<math> \begin{bmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & cos \theta \end{bmatrix} = \cos \theta \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \sin \theta \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \cos \theta I + \sin \theta J \,</math>
'''''<tt>J</tt>''''' est la matrice de la rotation d'un quart de tour.
Ligne 509 :
Par conséquent, multiplier un nombre complexe ''z' '' par un autre nombre complexe ''z'' de module ''ρ'' et d'argument ''θ'' revient à lui appliquer la composée d'une homothétie vectorielle de rapport ''ρ'' et d'une rotation vectorielle d'angle ''θ'', c'est-à-dire d'une similitude vectorielle d'angle ''θ'' et de rapport ''ρ''. La matrice d'une telle similitude est de la forme :
:<math> \rho I . (\cos \theta I + \sin \theta J) = \rho \cos \theta I + \rho \sin \theta J = x I + y J = \begin{bmatrix} x & -y \\ y & x \end{bmatrix} \,</math>
Dans le plan, une rotation d'un demi-tour équivaut à une symétrie centrale, qui change les coordonnées en leur opposées. La matrice associée est donc - ''<tt>I</tt>''. On vérifie que :
| |||