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Sa trajectoire sera, dans le plan vertical (O, '''Vo''', '''g'''), la parabole :
{{exemple|Enoncé|loi de Galilée-Mersenne-Torricelli,notation moderne|<math> \vec{OB}(t)= \frac {1}{2}.\vec{g}.t^2+\vec{V_0}.t</math>}}
=== LoiParabole de chute ===
 
CetteLa célèbre loi de la [[chute libre]] est énoncée par [[Galileo Galilei|Galilée]] (1568-1642), pour la première fois dans la lettre à Sarpi (1604), ; elle sera complétée ultérieurement : <math> \vec{a} = \vec{g}</math> donne le résultat via deux intégrations. Mais bien sûr, Mersenne ne procèdera pas ainsi en 1635, alors que les "dérivées" ne sont pas connues.
 
Remarquons{note que: le mouvement du boulet B ne dépend ni de sa masse, ni de sa densité, ce qui est indéfendable expérimentalement: c'est pourquoi le mot "dans le vide" est essentiel ; la résistance de l'air intervient et cela sera étudié ultérieurement dans la lesson : balistique extérieure}.
 
Cette équation est celle d'une parabole en coordonnées affines (de vecteurs de base ''' g''' et '''Vo''').
 
Ceux qui ont bien assimilé le cours de géométrie affine en déduise tout. En particulier, soit Vo verticale , et OH = Vo²/2g := h l'altitude maximale atteinte.
 
Toutes les paraboles obtenues en changeant seulement la direction de Vo ont un foyer tel que OF = OH , donc ce foyer est situé sur le demi-cercle-des-foyers de centre O et de rayon h. (évidemmentLe envecteur changeantvitesse l'azimut,Vo leétant problèmebissectrice estde àzOF symétrie, dela révolution'''position autourdu defoyer OzF''' s'en !)déduit.
 
Puisque OF = OH , O étant sur la parabole , la '''directrice''' est l'la droite horizontale z= h : donc toutes les paraboles ont même directrice.
Le vecteur vitesse Vo étant bissectrice de zOF , la position de F s'en déduit.
 
La donnée de F et de la directrice achève la description ordinairegéométrique de la parabole.
Puisque OF = OH , O étant sur la parabole , la directrice est l'horizontale z= h :
 
donc toutes les paraboles ont même directrice !
 
La donnée de F et de la directrice achève la description ordinaire de la parabole.
 
==== Parabole de sûreté ====
'''Pour un module Vo donné''', quelle que soit la direction donnée à la « hausse » du canon, certains points seront hors de portée du canon. L'ensemble de ces points forme une région du plan limitée par une courbe (S), dite de sécurité, qui « entoure » le point O ;: au-delà de (S), « on est en sûreté ». Dans le cas présent, (S) est une '''parabole''', d'où le nomtitre : '''parabole de lasûreté''' courbe.:
 
*En '''coordonnées polaires''', en partant de l'apex H de la parabole(S), son équation est :
Pour qu'un point P puisse être atteint par un boulet , il doit se trouver sur une des trajectoires paraboliques possibles, et donc on doit refaire à partir de P les mêmes constructions qu'en O : soit mener un cercle de centre P , tangent à la directrice qui va couper le demi-cercle en deux points F1 et F2 : le foyer le plus haut correspond à la trajectoire plombée, l'autre à la trajectoire tendue, si connues des pétanqueurs;
 
le cas limite F1=F2 (:=Fo) donne OFoPo en ligne droite : la corde étant focale,les tangentes en O et Po se coupent perpendiculairement sur la directrice (donc la droite z = <math>z_H</math> = h) : donc l'ensemble des points Po décrit l'antipodaire (de centre O) de la droite z=h : soit la parabole de foyer O et de directrice z = 2h.
 
Évidemment pour Po , la situation est symétrique: O est point limite pouvant être atteint en tirant de Po avec la vitesse V(Po) telle que V(Po)² = Vo² -2g.z(Po)
 
'''Pour un module Vo donné''', quelle que soit la direction donnée à la « hausse » du canon, certains points seront hors de portée du canon. L'ensemble de ces points forme une région du plan limitée par une courbe (S) qui « entoure » le point O ; au-delà de (S), « on est en sûreté », d'où le nom de la courbe.
 
Dans le cas présent, (S) est donc une parabole, d'où le titre : '''parabole de sûreté''' :
 
En coordonnées polaires, en partant de l'apex H de la parabole(S),
son équation est :
 
{{exemple|Enoncé|Parabole de sûreté de Torricelli(1608-1647) |<math> OP = \frac {2\cdot OH}{1+\cos\theta}</math>}}
*En '''coordonnées cartésiennes''', son équation est : <math> z = h - \frac{x^2}{4h}</math>
 
*démonstration géométrique : Pour qu'un point P puisse être atteint par un boulet , il doit se trouver sur une des trajectoires paraboliques possibles, et donc on doit refaire à partir de P les mêmes constructions qu'en O : soit mener un cercle de centre P , tangent à la directrice qui va couper le demi-cercle en deux points F1 et F2 : le foyer le plus haut correspond à la trajectoire plombée(tir de mortier), l'autre à la trajectoire tendue, si connues des pétanqueurs;
avec <math>p =2 \cdot OH = \frac{V_0^2}{g}</math> (portée horizontale).
 
le cas limite F1=F2 (:=Fo) donne OFoPo en ligne droite : '''la corde étantest focale''', les tangentes en O et Po se coupent donc perpendiculairement sur la directrice (doncc'est à dire la droite z = <math>z_H</math> = h) : donc l'ensemble des points Po décrit l'antipodaire (de centre O) de la droite z=h : soit la parabole de foyer O et de directrice z = 2h.
==== Note historique ====
Cette solution a été donnée par Galilée, améliorée par Torricelli, son élève (de 1640 à 1642). EnVoici voici une"sa" démonstration :
 
Soit <math>\phi~</math> = angle (OH,Vo). Soit Po le point de portée maximale,sur la courbe(S). Il faut démontrer, avec <math>\theta = 2\phi~</math>, que <math>OP = {p \over 2} \cdot {1h \over cos^2 \phi}</math>, avec p/2 = OH.
 
Décomposons le mouvement du boulet B(t) comme le fait Torricelli :
*Soit '''<math>\vec{OR'''} = '''Vo'''.t0 \vec{V_0}t</math>, le "mouvement comme rien" !
*et '''RP'''<math>\vec{RB} = +1/2 '''g'''\cdot .t0\vec{g}t^2</math>, la chute verticale.
*<math>\vec{OB}(t) = \vec{OR} + \vec{RB}</math>
 
Prendre crayon+papier.
 
ORAu esttemps bissectrice de HOPoto, quandla Poparabole B(t) oscule la courbe (S)(onde asûreté vuen quePo, c'étaitconfondu uneavec corde focaleB(to).
 
'''Le triangle ORPo est donc isocèle'''. Considérer le losange OPoRQ de côtés égaux OPo=RPo=RQ=OQ = 1/2 g.t0^2, de centre C : la tangente en Po coupe z=zH en C et donc la cote <math>z_C</math> vaut juste OH ;
A supposer provisoirement et à démontrer ultérieurement que ORo soit '''bissectrice''' de l'angle HOPo (on a vu que OPo était une corde focale),
'''Lele triangle ORPoORoPo est donc isocèle'''. Considérer le losange OPoRQOPoRoQ de côtés égaux OPo=RPoRoPo=RQRoQ=OQ = 1/2 g.t0^2, de centre C : '''dessiner ce lalosange''', c'est essentiel. La tangente en Po coupe z=zHh en C et donc la cote de C <math>z_C</math> vaut juste h = OH ; par ailleurs avec <math>\theta = 2 \phi ~</math>,
*alors on lit géométriquement :
 
<math>OC = \frac {OH}{cos\phi}</math> et <math>OP = \frac {OC}{cos\phi}</math> , soit <math>OP = \frac {OH}{cos^2 \phi}</math>, CQFD.
 
CetteCe démonstrationcalcul historique est d'une élégance que n'a pas la traditionnelle "équation à racine double en tan(alpha)".
 
* '''La démonstrationRaisonnement finaleanti-historique''' (?) : En fait,comment Torricelli nea-t-il s'embarrassaitcompris pasque ORo était '''bissectrice''' de toutl'angle ceHOPo. fatrasEn précédentfait car ilTorricelli avait-il déjà fait ce qu'on appelle le raisonnement de Clairaut.? Pour lui, il était clair que Po était le point d'intersection de deux paraboles de tir, tirées "au mieux" pour atteindre Po : soit Q, ce point qui "à la limite " deviendra Po :
On aura <math>\vec{OQ} = 1/2 \vec{g}t^{'2} + \vec{V_o'}t^'</math>
Ligne 66 ⟶ 56 :
et donc aussi "courbe dérivée" : <math>\vec{PoQ} = [\vec{V_o'} - \vec{V_o}]t^'</math> :
 
A la limiteLa '''Vo'Voremarque capitale''' étaitest perpendiculairealors àla '''Vo'''suivante (car: lapuisque vitesse<math>||\vec{V_0}|| garde= uncste module</math>, constant)alors <math>\vec{V_0V'_0}</math> est '''ORTHOGONAL''' à <math>\vec{V_0}</math>: donc '''PoQ''' perpendiculaire à '''Vo'''. Et donc les deux tangentes devaient donc se couper à angle droit, donc sur la droite orthoptique, soit en C sur la directrice. Donc PoO était corde focale. Dès lors, Torricelli enchaînait sur le calcul précédent.
 
Tout{note cela: eston trèspeut intuitifaussi ,dire corroborait Corinne, quelques années plus tard, car: '''réciproquementRéciproquement''' pour Po , c'était O le point le plus loin et donc la vitesse en Po était aussi bissectrice, cette fois de (Poz,PoO), donc les deux vitesses en O et en Po sont orthogonales : le triangle OCPo est rectangle en C}. Il existe aussi un raisonnement à la Didon avec les composantes Vz et Vg de la vitesse (proposé en exercice).
 
On peut ainsi faire dire queà Torricelli que non seulement il avait compris la parabole comme antipodaire d'une droite (ce qui était bien connu), mais avait aussi compris la notion d'enveloppe d'un réseau de trajectoires <math>T_{\alpha}</math> en considérant l'intersection-limite de <math>T_{\alpha}</math>et <math>T_{\beta}</math>. Ce qui précède Clairaut d'un siècle! Quand on lit Torricelli en 2010, on a "envie" de lire cela ; se méfier si l'on est historien : c'est du "re-construit finalisé" ( au sens de Bkouche ).
 
== Exercices ==