« Algèbre de Boole/Utiliser le système binaire » : différence entre les versions
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{{Voir homonymes|Binaire}}
[[Image:Information binaire.png|right|thumb|Exemple d'informations binaires]]
Le '''système binaire''' est un [[système de numération]] utilisant la [[Base (arithmétique)|base]] [[2 (nombre)|2]]. On nomme couramment [[bit (informatique)|bit]] (de l'[[anglais]] ''binary digit'', soit « chiffre binaire ») les [[chiffre]]s de la numération binaire. Ceux ci ne peuvent prendre que deux valeurs, notées par convention [[0 (nombre)|0]] et [[1 (nombre)|1]].
C'est un concept essentiel de l'[[informatique]]. En effet, les processeurs des [[ordinateur]]s sont composés de millions de [[transistor]]s (imprimés sur un circuit électronique) qui chacun ne gère que des [[bit]]s 0 (« le courant ne passe pas ») et 1 (« le courant passe »).
Un calcul informatique n'est donc qu'une suite d'opérations sur des ''paquets'' de 0 et de 1, appelés [[octet]]s lorsqu'ils sont regroupés par 8.
== Conversions ==
Le codage le plus courant est l'équivalent en base deux de la [[Notation positionnelle|numération de position]] que nous utilisons quotidiennement en base 10.
=== Énumération des premiers nombres ===
Les premiers nombres s'écrivent :
décimal binaire
Ligne 30 ⟶ 36 :
----
L'
Tout nombre peut s'écrire en binaire, c'est à dire qu'il se décompose en somme de puissances de 2(1;2;4;8;16;32;64;...), par exemple 35 se décompose en :
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donc le nombre décimal 35 se note 100011 en binaire.
=== Expression d'un nombre ===
Un nombre décimal à plusieurs chiffres tel que 123 s'exprime ainsi :
Ligne 49 ⟶ 55 :
suite de 1010-10100
==== Représentation des entiers positifs ====
Pour trouver la représentation binaire d'un nombre, on le décompose en somme de puissances de 2. Par exemple avec le nombre dont la représentation [[système décimal|décimale]] est 59 :
59 = '''1'''×32 + '''1'''×16 + '''1'''×8 + '''0'''×4 + '''1'''×2 + '''1'''×1
59 = '''1'''×2<small><sup>5</sup></small> + '''1'''×2<small><sup>4</sup></small> + '''1'''×2<small>³</small> + '''0'''×2<small>²</small> + '''1'''×2<small><sup>1</sup></small> + '''1'''×2<small><sup>0</sup></small>
59 = '''111011''' en binaire
Avec N [[bit (informatique)|bits]], ce système permet de représenter les nombres entre 0 et 2<sup>N</sup>-1. Il est donc possible de compter sur ses dix doigts jusqu'à 1023 (2<small><sup>10</sup></small>-1) en binaire. Il suffit d'affecter à chaque doigt une valeur binaire (pouvant être représenté par un doigt plié).
Doigt Main Puis. Valeur en
de 2 numération
décimale
Auriculaire de la main droite levé 2^0 1
Annulaire » 2^1 + 2
Majeur » 2^2 + 4
Index » 2^3 + 8
Pouce » 2^4 + 16
Pouce de la main gauche levé 2^5 + 32
Index » 2^6 + 64
Majeur » 2^7 + 128
Annulaire » 2^8 + 256
Auriculaire » 2^9 + 512
-------
Somme =1 023
(Pour mémoire 2^10 =1 024)
Ceci confirme la formule
2^10-1=1 024-1
=1 023
On remarque qu'avec 10 doigts on peut prendre en compte les 10 premières puissances de 2 s'échelonnant de 2^0 à 2^9 c'est-à-dire la somme des 10 premières puissances de 2].
==== Représentation des entiers négatifs ====
Pour compléter la représentation des entiers, il faut pouvoir écrire des entiers négatifs. On ajoute pour cela à la représentation un bit de signe, placé en tête. Un bit de signe nul indique une valeur positive, un bit de signe positionné à un une valeur négative. Cette règle permet de rester cohérent avec le système de représentation des entiers positifs : il suffit d'ajouter un 0 en tête de chaque valeur.
===== Complément à un =====
Ce codage, fort simple, consiste à inverser la valeur de chaque bit composant une valeur binaire.
Par exemple, pour obtenir -5 :
0101 valeur décimale 5
1010 complément à un
Le souci avec un tel système est qu'il y a toujours deux représentations de la valeur 0 pour un nombre de bit donné.
{{Détails|Complément à un}}
===== Complément à deux =====
Afin de pallier ce défaut, on a introduit la représentation par complément à deux. Celle-ci consiste à réaliser un complément à un de la valeur, puis d'ajouter 1 au résultat.
Par exemple pour obtenir -5:
0101 codage de 5 en binaire
1010 complément à un
1011 on ajoute 1 : représentation de -5 en complément à deux
Ce codage a l'avantage de ne pas nécessiter de différenciation spéciale des nombres positifs et négatifs, et évite en particulier le problème d'ordinateurs anciens ([[Control Data]] 6600) qui avaient un « +0 » et un « -0 » dont il fallait faire comprendre aux circuits de tests que c'était le même nombre ! Voici une addition de -5 et +7 réalisée en complément à deux sur 4 bits :
-5 1011
+7 0111
__ ____
2 (1) 0010 (on 'ignore' la retenue)
Avec n bits, ce système permet de représenter les nombres entre -2<sup>n-1</sup> et 2<sup>n-1</sup>-1.
{{Détails|Complément à deux}}
=== Du système décimal vers le système binaire ===
Pour développer l'exemple ci-dessus, le nombre {{formatnum:45853}} écrit en base décimale provient de la somme de nombres ci-après écrits en base décimale. À dire vrai, pour proposer une méthode plus simple à comprendre, il faut trouver la puissance de 2 la plus grande possible inférieure ou égale au nombre de départ. On soustrait au nombre d'origine (RO) cette puissance, en notant un 1, puis l'on cherche à nouveau un multiple (RM) pour le reste (Rr).
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Soit (en lisant les restes obtenus en sens inverse): 1011001100011101
=== Entre les bases 2, 8 et 16 ===
==== Du binaire vers octal ou hexadécimal ====
Les bases 8 (octale) et 16 (hexadécimale) sont des bases multiples de la base 2. Ces deux bases ont été couramment employées en informatique et pour des raisons pratiques; ces bases étant fortement liées à la base 2 et les nombres écrits dans ces bases étant plus "manipulables" (car d'écriture plus courte) par l'intellect humain. L'écriture de nombres dans ces bases est facilement obtenue par regroupement de chiffres de l'écriture du nombre en base 2.
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On pourrait facilement étendre ce principe à toutes les bases qui sont puissances de 2.
==== Vers le binaire ====
Il suffit de convertir la valeur de chacun des chiffres sous leur forme binaire.
:*1A2F<sub>16</sub> va s'écrire 1, 10<small>=8+2</small>, 2, 15<small>=8+4+2+1</small> soit 1 1010 0010 1111<sub>2</sub>
:*156<sub>8</sub> va s'écrire 1, 5<small>=4+1</small>, 6<small>=4+2</small> soit 1 101 110<sub>2</sub>
=== Table des valeurs des groupements de chiffres binaires ===
{| style="border:0px;"
|
Ligne 223 ⟶ 294 :
|}
== La soustraction ==
La soustraction en binaire se déroule de la même manière qu’en décimal.
Principe de base :
:0 − 0 = 0
:0 − 1 = 1 (avec retenue)
:1 − 0 = 1
:1 − 1 = 0
Exemple de soustraction :
* * * * (les colonnes avec * contiennent des retenues)
1 1 0 1 1 1 0
− 1 0 1 1 1
----------------
= 1 0 1 0 1 1 1
== Code de Gray ou binaire réfléchi ==
Ce codage permet de ne faire changer qu'un seul bit à la fois quand un nombre est augmenté d'une unité. Le nom du code vient de l'ingénieur américain [[Frank Gray]] qui déposa un brevet sur ce code en 1953. Monsieur Louis Gros publia en 1872 un opuscule où ce code était présenté pour la première fois en lien avec un casse-tête. Monsieur Gros était clerc de notaire à Lyon.
{| class="wikitable"
!colspan="2"|codage binaire classique
!colspan="2"|Codage Gray ou binaire réfléchi
|-
|0||0000
|0||0000
|-
|1||0001
|1||0001
|-
|2||0010
|2||0011
|-
|3||0011
|3||0010
|-
|4||0100
|4||0110
|-
|5||0101
|5||0111
|-
|6||0110
|6||0101
|-
|7||0111
|7||0100
|}
Pour passer d'une ligne à la suivante, on inverse le bit le plus à droite possible conduisant à un nombre nouveau.
Le nom de code binaire ''réfléchi'' vient d'une méthode de construction plus pratique pour choisir quel bit inverser quand on passe d'un nombre au suivant:
*On choisit un code de départ: ''zéro'' est codé 0 et ''un'' est codé 1.
*Puis, à chaque fois qu'on a besoin d'un bit supplémentaire, on symétrise les nombres déjà obtenus (comme une ''réflexion'' dans un miroir).
*Enfin, on rajoute un 0 au début des "anciens" nombres, et un 1 au début des nouveaux nombres.
Exemple :
0 0 0 .0 0 00 0 .00 0 000
1 1 1 .1 1 01 1 .01 1 001
miroir->------ 2 .11 2 011
2 .1 2 11 3 .10 3 010
3 .0 3 10 -------
4 .10 4 110
5 .11 5 111
6 .01 6 101
7 .00 7 100
Une autre méthode de calcul permettant de passer d'un nombre de Gray au suivant, et qui présente l'avantage de ne pas nécessiter de connaître l'ensemble des nombres précédents est la suivante :
*si le nombre de 1 est pair, alors le dernier chiffre doit être inversé
*sinon, il faut repérer le 1 situé le plus à droite et inverser le chiffre situé immédiatement à gauche de celui-ci.
Ce code est surtout utilisé pour des capteurs de positions, par exemple sur des règles optiques. En effet, si on utilise le code binaire standard, lors du passage de la position ''un'' (01) à ''deux'' (10), permutation simultanée de 2 bits, il y a un risque de passage transitoire par ''trois'' (11) ou ''zéro'' (00), ce qu'évite le code de Gray.
On remarquera que le passage du maximum (''sept'' sur 3 bits) à ''zéro'' se fait également en ne modifiant qu'un seul bit. Ceci permet par exemple d'encoder un angle, comme la direction d'une girouette :
0=''Nord'', 1=''Nord-Est'', 2=''Est'', ... 7=''Nord-Ouest''.
Le passage de ''Nord-Ouest'' à ''Nord'' se fait également sans problème en ne changeant qu'un seul bit (voir [[Roue de codage]]).
Le décodage des signaux lumineux d'un axe de [[Souris (informatique)#Technologie mécanique|souris mécanique]] est un décodage de code de Gray à 2 bits (décodage différentiel dans ce cas, car ce que l'on veut obtenir n'est pas la valeur décodée mais les transitions ±1 mod 4 de la valeur décodée).
Le code Gray sert également dans les [[Table de Karnaugh|tables de Karnaugh]] utilisées lors de la conception de circuits logiques.
Algorithme de codage d'un nombre n en code gray g :
g = n ^(n >> 1)
Algorithme de décodage rapide pour des mots de 64 bits (pour des mots de 32 bits, remplacer 32 par 16) :
long grayInverse(long n) {
long ish, ans, idiv;
ish = 1;
ans = n;
while(true) {
idiv = ans >> ish;
ans ^= idiv;
if (idiv <= 1 || ish == 32)
return ans;
ish <<= 1; // double le nb de shifts la prochaine fois
}
}
=== Décimal codé binaire (« binary coded decimal », ou ''BCD'') ===
Ce codage consiste à représenter chacun des chiffres de la numérotation décimale sur 4 bits:
1994 = 0001 1001 1001 0100
1×1000 + 9×100 + 9×10 + 4×1
Il présente l'avantage de simplifier la conversion avec la notation décimale.
Avec n bits (n multiple de 4), il est possible de représenter les nombres entre 0 et 10<sup>n/4</sup>-1. Soit approximativement entre 0 et 1.778<sup>n</sup>-1. Le BCD est un code redondant, en effet certaines combinaisons ne sont pas utilisées (comme 1111 par exemple).
Cette représentation évite par construction tous les problèmes gênants de cumul d'arrondi qui interviendraient lors de la manipulation de grands nombres dépassant la taille des circuits en arithmétique entière et obligent à recourir au flottant. Il est cependant possible de manipuler des [[nombre à précision arbitraire|nombres à précision arbitraire]] en utilisant un codage plus efficace que le BCD.
Il existe des variantes du codage BCD :
* code Aiken où 0, 1, 2, 3, 4 sont codés comme en BCD et 5, 6, 7, 8, 9 sont codés de 1011 à 1111. Il permet d'obtenir le complément à 9 en permutant les 1 et les 0.
* codage binaire excédant 3 qui consiste à représenter le chiffre à coder + 3.
{{Détails|Binary coded decimal}}
== Applications ==
=== Théorie de l'information ===
En [[théorie de l'information]], on peut utiliser le ''bit'' comme unité de mesure de l'information. La théorie elle-même est indifférente à la représentation des grandeurs qu'elle''' utilise.
=== Logique ===
La logique classique est une logique bivalente: une proposition est soit vraie, soit fausse. Il est donc possible de représenter la vérité d'une proposition par un chiffre binaire.
On peut par exemple modéliser les opérations de l'arithmétique binaire à l'aide de l'[[algèbre de Boole (logique)|algèbre de Boole]].
L'algèbre de Boole représente un cas très particulier d'usage des [[probabilité]]s ne faisant intervenir que les seules valeurs de vérité 0 et 1. Voir [[Théorème de Cox-Jaynes]].
=== Informatique ===
Le binaire est utilisé en informatique car il permet de modéliser le fonctionnement des composants de ''commutation'' comme le [[Transistor-Transistor logic|TTL]] ou le [[CMOS]]. La présence d'un seuil de tension au bornes des transistors, en négligeant la valeur exacte de cette tension, représentera 0 ou 1. Par exemple le chiffre 0 sera utilisé pour signifier une absence de tension à 0,5V près, et le chiffre 1 pour signifier sa présence à plus de 0,5V. cette ''marge de tolérance'' permet de pousser les cadences des microprocesseurs à des valeurs atteignant sans problème (hormis d'échauffement) plusieurs [[gigahertz]]. Ne sachant pas techniquement réaliser des composants électroniques à plus de deux états stables (0 ou plus de 0,5V), on n'utilise que la [[logique]] (bivalente) et donc le système binaire.
En [[informatique]], la représentation binaire permet de clairement manipuler des [[bit (informatique)|bits]] : chaque chiffre binaire correspond à un bit. La représentation binaire nécessitant l'usage de beaucoup de chiffres (même pour des nombres assez petits), ce qui entraînerait d'importants problèmes de [[lisibilité]] et donc de ''risques d'erreur'' de transcription pour les programmeurs on lui préfère pour eux une ''représentation'' parfois [[système octal|octale]] ou plus fréquemment [[système hexadécimal|hexadécimale]]. La quasi totalité des [[microprocesseur]]s actuels travaillant avec des mots de 8, 16, 32 ou 64 bits, la notation hexadécimale permet de manipuler l'information par paquets de 4 bits (contre 3 pour la notation [[système octal|octale]] plus populaire du temps des premiers [[mini-ordinateur]]s [[DEC]] à 12 ou 36 bits).
*63 <sub><small>[[système décimal|(10)]]</small></sub> = 111111 <sub><small>(2)</small></sub> = 77 <sub><small>[[système octal|(8)]]</small></sub> = 3F <sub><small>[[système hexadécimal|(16)]]</small></sub>
*64 <sub><small>[[système décimal|(10)]]</small></sub> = 1000000 <sub><small>(2)</small></sub> = 100 <sub><small>[[système octal|(8)]]</small></sub> = 40 <sub><small>[[système hexadécimal|(16)]]</small></sub>
*255 <sub><small>[[système décimal|(10)]]</small></sub> = 11111111 <sub><small>(2)</small></sub> = 377 <sub><small>[[système octal|(8)]]</small></sub> = FF <sub><small>[[système hexadécimal|(16)]]</small></sub>
*256 <sub><small>[[système décimal|(10)]]</small></sub> = 100000000 <sub><small>(2)</small></sub> = 400 <sub><small>[[système octal|(8)]]</small></sub> = 100 <sub><small>[[système hexadécimal|(16)]]</small></sub>
== Voir aussi ==
* [[Format des données]]
* [[Préfixe binaire]]
* [[Virgule flottante]]
* [[Système bibi-binaire]] de [[Boby Lapointe]]
* [[Algèbre de Boole (logique)|Algèbre de Boole]]
* [[Nombre négatif]]
* [[Complément à un|Complément à 1]]
* [[Complément à deux|Complément à 2]]
* [[Auguste De Morgan]]
* [[Entier en précision multiple]]
== Liens externes ==
* [http://robert.cireddu.free.fr/Ressources/AII/Cours%20sur%20le%20traitement%20numerique/index.htm Le traitement numérique]
* [http://philippe.berger2.free.fr/automatique/cours/numeration/numeration.htm Mise en œuvre de la numération]
{{Systèmes de numération}}
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{{Lien AdQ|vi}}
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