« Algèbre de Boole/Utiliser le système binaire » : différence entre les versions
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{{Voir homonymes|Binaire}}
Le '''système binaire''' est un [[système de numération]] utilisant la [[Base (numération)|base]] [[2 (nombre)|2]]. On nomme couramment [[bit (informatique)|bit]] (de l'[[anglais]] ''binary digit'', soit « chiffre binaire ») les [[chiffre]]s de la numération binaire. Ceux ci ne peuvent prendre que deux valeurs, notées par convention [[0 (nombre)|0]] et [[1 (nombre)|1]].
==Conversions==
===Énumération des premiers nombres===
Les premiers nombres s'écrivent :
décimal binaire
0 0000
1 0001
2 0010
3 0011
4 0100
5 0101
On passe d'un nombre binaire au suivant en ajoutant 1, comme en décimal, sans oublier les retenues :
11
+ 1
====
100
Détail :
1 + 1 = 10 => on pose 0, et retient 1
1 + 1(retenue) = 10 => on pose 0, et retient 1
0 + 1(retenue) = 1 => 1
----
''En binaire :''
0 represente l'état fermé
1 represente l'état ouvert
Tout se lit en puissance de 2 c'est à dire :
[[Pour écrire 35 :]]
32 16 8 4 2 1
1 0 0 0 1 1
On ouvre 32, 2 et 1 donc 32+2+1= 35...
===Expression d'un nombre===
Un nombre décimal à plusieurs chiffres tel que 123 s'exprime ainsi :
1 * 100 ( 1 * 10<sup>2</sup> )
+ 2 * 10 ( 2 * 10<sup>1</sup> )
+ 3 * 1 ( 3 * 10<sup>0</sup> )
Sa réprésentation en binaire est 1111011 et s'exprime de la même façon :
1 * 1000000 ( 1 * 2<sup>6</sup> )
+ 1 * 100000 ( 1 * 2<sup>5</sup> )
+ 1 * 10000 ( 1 * 2<sup>4</sup> )
+ 1 * 1000 ( 1 * 2<sup>3</sup> )
+ 0 * 100 ( 0 * 2<sup>2</sup> )
+ 1 * 10 ( 1 * 2<sup>1</sup> )
+ 1 * 1 ( 1 * 2<sup>0</sup> )
===Du système décimal vers le système binaire===
Pour développer l'exemple ci-dessus, le nombre 45 853 écrit en base décimale provient de la somme de nombres ci-après écrits en base décimale. À dire vrai, pour proposer une méthode plus simple à comprendre, il faut trouver la puissance de 2 la plus grande possible inférieure au nombre de départ. On soustrait au nombre d'origine (RO) cette puissance, en notant un 1, puis l'on cherche à nouveau un multiple (RM) pour le reste (Rr).
* 1. RO= RM1+ Rr1
* 2. Rr1=RM2+Rr2
* 3.Rr2=RM3+Rr3
...
32 768 1 fois 32 768 en fait 2 multiplié 15 fois par lui même soit 2<sup><small>15</small></sup>
+ 0 0 fois 16 384 en fait 2 multiplié 14 fois par lui même soit 2<sup><small>14</small></sup>
+ 8 192 1 fois 8 192 idem 13 idem 2<sup><small>13</small></sup>
+ 4 096 1 fois 4 096 idem 12 idem 2<sup><small>12</small></sup>
+ 0 0 fois 2 048 idem 11 idem 2<sup><small>11</small></sup>
+ 0 0 fois 1 024 idem 10 idem 2<sup><small>10</small></sup>
+ 512 1 fois 512 idem 9 idem 2<sup><small>9</small></sup>
+ 256 1 fois 256 idem 8 idem 2<sup><small>8</small></sup>
+ 0 0 fois 128 idem 7 idem 2<sup><small>7</small></sup>
+ 0 0 fois 64 idem 6 idem 2<sup><small>6</small></sup>
+ 0 0 fois 32 idem 5 idem 2<sup><small>5</small></sup>
+ 16 1 fois 16 idem 4 idem 2<sup><small>4</small></sup>
+ 8 1 fois 8 idem 3 idem 2<sup><small>3</small></sup>
+ 4 1 fois 4 idem 2 idem 2<sup><small>2</small></sup>
+ 0 0 fois 2 idem 1 idem 2<sup><small>1</small></sup> = 2
+ 1 1 fois 1 idem 0 idem 2<sup><small>0</small></sup> = 1
=45 853
Soit écrit en système positionnel et en numération décimale (en écrivant les puissances de 2) :
45 853 = 1×2<sup>15</sup> + 0×2<sup>14</sup> + 1×2<sup>13</sup> + 1×2<sup>12</sup> + 0×2<sup>11</sup> + 0×2<sup>10</sup> + 1×2<sup>9</sup> + 1×2<sup>8</sup> +
0×2<sup>7</sup> + 0×2<sup>6</sup> + 0×2<sup>5</sup> + 1×2<sup>4</sup> + 1×2<sup>3</sup> + 1×2<sup>2</sup> + 0×2<sup>1</sup> + 1×2<sup>0</sup>
Soit en système positionnel et en numération binaire puisque l'on ne reporte pas les puissances de 2
45 853 décimal s'écrit 1011 0011 0001 1101 binaire (séparés par groupes de 4 bits)
On voit qu'il y a 16 bits.
===Entre les bases 2, 8 et 16===
==== Du binaire vers octal ou hexadécimal ====
* Octal : base 8 : <math>8 = 2^3</math>, donc on regroupe par paquets de 3 les chiffres binaires, à partir de la droite.
:*10101101110<sub>2</sub> va s'écrire 10 101 101 110 et en convertissant la valeur de chacun des blocs en décimal, on obtient le nombre octal 2556<sub>8</sub>.
* Hexadécimal : base 16 : <math>16 = 2^4</math>, donc on regroupe par paquets de 4 les chiffres binaires, à partir de la droite.
:*10101101110<sub>2</sub> va s'écrire 101 0110 1110 et en convertissant la valeur de chacun des blocs en décimal on obtient : 5, 6, 14 c'est-à-dire 56E<sub>16</sub>.
On pourrait facilement étendre ce principe à toutes les bases qui sont puissances de 2.
====Vers le binaire====
Il suffit de convertir la valeur de chacun des chiffres sous leur forme binaire.
:*1A2F<sub>16</sub> va s'écrire 1, 10<small>=8+2</small>, 2, 15<small>=8+4+2+1</small> soit 1 1010 0010 1111<sub>2</sub>
:*156<sub>8</sub> va s'écrire 1, 5<small>=4+1</small>, 6<small>=4+2</small> soit 1 101 110<sub>2</sub>
===Table des valeurs des groupements de chiffres binaires===
{| style="border:0px;"
|
{|cellpadding="2" cellspacing="0" style="text-align:center; margin:6px; border:1px solid; background:#FFFFEE;"
! Binaire
! Décimal
! Octal
! Hexadécimal
|-
|0000
|0
|0
|0
|-
|0001
|1
|1
|1
|-
|0010
|2
|2
|2
|-
|0011
|3
|3
|3
|-
|0100
|4
|4
|4
|-
|0101
|5
|5
|5
|-
|0110
|6
|6
|6
|-
|0111
|7
|7
|7
|}
|
{|cellpadding="2" cellspacing="0" style="text-align:center; margin:6px; border:1px solid; background:#FFFFEE;"
! Binaire
! Décimal
! Octal
! Hexadécimal
|-
|-
|1000
|8
|10
|8
|-
|1001
|9
|11
|9
|-
|1010
|10
|12
|A
|-
|1011
|11
|13
|B
|-
|1100
|12
|14
|C
|-
|1101
|13
|15
|D
|-
|1110
|14
|16
|E
|-
|1111
|15
|17
|F
|}
|}
==Voir aussi==
* [[Format des données]]
* [[Arithmétique binaire]]
* [[Préfixe binaire]]
* [[Virgule flottante]]
* [[Système bibi-binaire]] de [[Boby Lapointe]]
*[http://www.informatique-web.net/compter-et-calculer-dans-les-differentes-bases-numeriques/article-20-1.html ''Compter et calculer dans les différentes bases numériques'' sur Informatique-Web.net]
{{Multi bandeau|Portail logique|Portail informatique}}
{{
[[Catégorie:Système de numération|Binaire]]
[[Catégorie:Calcul informatique]]
[[Catégorie:Calcul numérique]]
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[[ar:نظام عد ثنائي]]
[[
[[
[[
[[
[[
[[el:Δυαδικό σύστημα]]
[[en:Binary numeral system]]
[[
[[
[[
[[eu:Zenbaki-sistema bitar]]
[[fa:دستگاه اعداد دودویی]]
[[fi:Binäärijärjestelmä]]
[[fur:Sisteme binari]]
[[he:בסיס בינארי]]
[[hu:Kettes számrendszer]]
[[it:Sistema numerico binario]]
[[ja:二進記数法]]
[[ka:ორობითი რიცხვები]]
[[ko:이진법]]
[[la:Systema numericum binarium]]
[[nl:Binair]]
[[nn:Totalssystemet]]
[[no:Binært tallsystem]]
[[pl:Dwójkowy system liczbowy]]
[[pt:Sistema binário (matemática)]]
[[ro:Sistem binar]]
[[ru:Двоичная система счисления]]
[[simple:Binary numeral system]]
[[sk:Dvojková číselná sústava]]
[[sl:Dvojiški številski sistem]]
[[sr:Бинарни систем]]
[[sv:Binära talsystemet]]
[[th:เลขฐานสอง]]
[[vi:Hệ nhị phân]]
[[vls:Binair reekn'n]]
[[yi:ביינערי]]
[[zh:二进制]]
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