« Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute ralentie sur plan incliné » : différence entre les versions

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==Jeu de pistes de Mersenne, suite à ceux de Galilée ==
Mersenne a publié très vite après la célèbre publication en Hollande par ELZEVIR des "discorso" sur les deux nouvelles sciences de Galilée( 1638), un traité, les Mechaniques, qui ne sont pas une traduction fidèle de Galilée, mais qui sont intéressantes. En voici qq exercices :
 
== L'hyperclassique mouvement de glissement sur la parabole ( X 1978 par exemple) ==
 
Le problème du toboggan est traité par Cabannes ( p196); revoir l'exercice classique ( Julia) : les courbes telles que le vecteur réaction '''N''' soit constamment nul au cours du mouvement dans le champ de pesanteur sont évidemment les paraboles de chute ! Revoir aussi le pb de la liaison unilatérale : soit une courbe concave de courbure 1/R au point M , et soit '''F''' la force appliquée vers la concavité et faisant l'angle aigu béta avec la normale''' n''' : le rayon de courbure de la trajectoire non liée est tel que mv²/r = F.cos (béta). La particule s'échappe si r > R , ce qui se réécrit F cos(béta) - mv²/R < 0 , ce qui n'est autre que la réaction N, et N < 0 est impossible : d'où décollement de la courbe-toboggan.
 
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'''partie I : mouvement sans frottement sur toboggans paraboliques''' :
 
1/. Sur la parabole (P1), <math> x= -p \cdot tan \theta</math>, et <math>y= - p/2 \cdot tan^2 \theta </math> , et v²= - 2gy .En projetant sur la normale, on trouve la réaction <math> N = mg \cdot cos \theta + mv^2/R</math>, soit après calcul <math>N = mg \cdot cos^3 \theta > 0</math> , donc la particule ne décolle pas.
 
Sur le tronçon convexe P2), intuitivement la particule décollera encore moins et atteindra le point B de jonction avec le tronçon (P3).
 
2/.Sur la parabole (P3), on veut encore avoir N > 0 avec cette fois <math> N/m = g \cdot cos \beta + 2g y_B /q \cdot cos^3 \beta</math>, où <math>y_B = p/2 \cdot tan^2 \beta - 2 p/2 \cdot tan^2 \alpha</math>, ce qui donne la relation R1 demandée : <math>p(tan^2 \beta - 2 tan^2 \alpha) + q/cos^2 \beta > 0</math>. {Remarque : on peut aussi utiliser le cours d'introduction en écrivant r< R, ce qui redonne aisément <math> v^2/g cos\beta < -R = q/cos^3\beta</math>, d'où <math>2y_B +q/cos^2 \beta > 0</math>; or sur une parabole <math> 2y + q \cdot tan^2\theta = cste = valeur en B</math>, soit (R1) }. La particule atteint O3 si sa cote est négative, d'où la condition (R2) : <math> p ( tan^2\beta - 2tan^2\alpha + q (tan^2\beta) < 0</math> : (R1) et (R2)sont compatibles.
 
3/.Si la particule décolle, il y a "chute libre", évidemment si y > y(P3), soit si <math> -g/v_o^2cos^2\beta > -1/q</math>, ce qui n'est autre que la condition (R1), certes !
 
'''partie II : mouvement avec frottement solide :'''
 
intuitivement, il faut se référer à ce que l'on connaît du plan incliné : si <math>\theta< Arctan f </math>, v décroît et sinon v croît. MAIS, il faut rajouter l'effet courbure de la parabole, et donc ici c'est <math>v \cdot exp f \theta </math> qui jouera le rôle de v. Que l'équation différentielle s'intègre n'est sans doute pas fortuit, car si en un point Po, <math> f(\theta) = v^2 +gp(1+tan^2 \theta) = 0</math> , cela annule N , et donc la parabole (P) est osculatrice à la parabole de chute libre, mais alors c'est CETTE parabole-ELLE-MEME, et donc N reste nulle, et donc le frottement ne doit jouer aucun rôle, et donc le signe de l'expression précédente va rester cst : c'est bien ce à quoi va conduire la question 1 : f(\theta). exp(2f \theta)= cste. Une fois comprise cette "explication" , le reste des questions est une suite d'inégalités assez "taupe" .
 
1/. écrivons donc : <math> m dv/dt = -mg \cdot (sin \theta - f \cdot cos\theta) + fmv^2/R</math>, et remarquons que <math>dv/dt = 1/2 dv^2/d\theta /R</math> et le "miracolo de Padua" arrive : l'équation s'intègre car <math>R cos\theta = p /cos^2\theta = 2y + cte</math> et il en résulte que <math>d( v^2 +gp/cos^2) + 2f ( v^2 +gp/cos^2)d\theta = 0</math>, soit par intégration :
 
<math>(v^2+gp/\cos^2\theta)\cdot e^{2f\theta} = cste</math> . CQFD.
 
Galilée ne savait pas traiter cela ! gageons que Torricelli non plus !
 
==Chute ralentie et système du premier ordre==