« Électrocinétique » : différence entre les versions

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Cette fois, on a :
 
A1 == A2 == A3 == A4
 
B1 == B2 == B3 == B4
 
C1 == C2 == C3 == C4
 
On demande la résistance R(A1C4) = r * 121/(37+32) , en précisant, pour aider, que U(A1A2)= 37 V et que U(A1B1)= 32 V
 
'''solution''' :
 
la solution existe et est unique : nous donnons la carte des potentiels en rouge:
 
121 -- 84 -- 60 -- 46
 
.89 -- 71 -- 50 -- 32
 
.75 -- 61-- 37-- 00
 
On remarquera immédiatement la symétrie centrale de potentiel (71+50)/2 = 60.5
*Il est facile (et instructif) de tracer la carte des courants en bleu.
 
37 24 14
 
32 15 10 14
18 21 18
 
14 10 15 32
 
14 24 37
 
 
 
On remarquera que tout noeud donne la loi des noeuds-Millman ( au fond, la loi du Laplacien_nul , ici ).
On remarquera que tout cut-set sur la carte des courants redonne bien : courant sortant identiquement nul.
On pourra vérifier la loi de puissance de Tellegen.
 
'''Correction''' :
 
évidemment, tout élève demande : mais comment faire pour trouver ?
La solution était "aidée" :
En effet la symétrie permettait donc d'avoir en choisissant V(C4) = 0 , V(B4) = 32 et V(C3) = 37
donc le courant de sortie : I = 37/r + 32/r = 69 / r . Si on trouve V(A1), c'est gagné !
 
Voici une correction ( d'autres doivent être plus simples ? ) : prendre V(A3) = x et V(C2) = y et V(B3) = z ; et on aura V(A1) = x+y ! il reste à trouver x+y ! on propose les 3 équations de noeuds-Millman '''en C3''' : y + z = 3*37 = 111 ; '''en B4''' : 2x + 4z = 320 ; '''en B3''' ( tenir compte de V(B2)= x+y-z ! ) : (x+y-z)+ x + 32 + 37 = 4z soit 2x + y - 5z = -69 ; ce qui donne aisément -y + 9z = 389 donc 10z = 389 +111 = 500 , soit z = 50 , puis y = 61 et x= 60 donc V(A1) = 121 .
 
Sans aide, pas d'autre solution qu'avec 4 eq lin à 4 inconnues + Scilab.(Y.Rocard suggère de prendre simplement 4 trajets différents de A1 à C4 , évidemment en tenant compte de la symétrie).
 
Une solution astucieuse (LLG94) consiste à injecter symétriquement le courant en A1 et A4 et le faire sortir symétriquement en C1 et C4 ce qui donne le diagramme D1 , puis construire le diagramme D2 avec entrée en A1 et C1 , sortie en A4 et C4 : ceci donne :
 
2 1 1 2
 
0 0 0 0
 
-2 -1 -1 -2
 
de résistance 2/3*r ; puis :
 
25 8 -8 -25
 
19 7 -7 -19
 
25 8 -8 -25 ( assez facile à trouver, 3 eq lin à 3 inc )
 
et l'on retrouve bien R1 + R2 = 2/3 + 25/23 = 121/69, en '''''superposant''''' 23 D1 union 3 D2 .cqfd.
 
¤=¤
La résistance 121/69 (=~1.7536 r ) est proche de 119/70 fait remarquer Y.Rocard : en effet, si l'on shunte A2 et B1 , et puis A3 B2 C1 , etc , on obtient une résistance légèrement inférieure de 1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/4 + 1/2 = 17/10 r.
 
Suivant le même raisonnement, on peut remarquer qu'en shuntant le segment A3 C2, on ne devrait abaisser la résistance que de peu : un calcul assez peu onéreux, mais sans gloire, donne R = 128/73 (= 1.7534 r ).
¤=¤
*Reste enfin la question souvent posée : on donne le circuit : diriez-vous V(B1) supérieur ou inférieur à V(A2)? Il convient d'"éduquer son raisonnement" contre une "intuition spontanée démunie".
 
L'idée est de deviner les équi-V : si vous repérez que V(C2) >V(A3) , vous aurez gagné par "continuité". Or cela est assez raisonnable : si les sondes étaient placées en B1 et B4, la symétrie donne la médiane comme ligne neutre. Si on déplace les deux sondes symétriquement vers A1 et C4 , il paraît assez raisonnable de dire que la ligne neutre va se déplacer en sens des aiguilles de montre, "un peu". Il est instructif sur le diagramme des tensions de dessiner les équipotentielles.Cela éduque l'intuition.
 
== Problème des 9 carrés ==
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