« Électrocinétique » : différence entre les versions

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=== Pour les bâtiments ===
=== Pour l'homme ===
 
==Quelques exercices==
Ces exercices sont tous tirés d'examens ou concours posés en Bac +1. Ils n'ont aucune prétention d'originalité ; mais ils peuvent servir un élève auto-didacte.
 
===Jeu des résistances ===
http://www.cndp.fr/archivage/valid/36320/36320-7044-7011.pdf : le CNDP propose de trouver avec 5 résistances égales à 10 ohms de trouver l'ensemble des valeurs possibles de la résistance équivalente et donne comme valeur maximale : 50 (en série),valeur minimale 2 (en parallèle). Trouver les autres valeurs possibles :
40, 30 , 20 et 10 sont évidentes ainsi que
10/2 , 10/3 10/4 et donc 10/5 = 2
mais il y en a bien d'autres : exemple :3 en série + 2 en parallèle donne : 35.
A vous de "jouer" [conseil : procéder avec 2, puis 3 , etc. pour ne pas oublier des montages !]
 
Solution :
1R = 10
2R = 20 et 5
3R = 30 et 10/3 , et 15 ; et 20/3
4R = rajouter en série ou en parallèle sur les 4 précédents :
40 et 30/4 ; 10 + 10/3 et 10/4 ; 10+15=25 et 10//15 = 6 , et 10 + 10/3(déjà vu, donc non compté) et 5+5=10; 10+20/3 et 10/4
et 5//20 = 4
 
5R = procéder de même, en étant plus attentif :
sans cycle : 50 , 35 , 10/3+20 , 10/4 + 10 , 2*10/2 +10 , 10/3 + 10/2 ;
avec cycle :
cycle de 3 : 20 + 10//20 ; 10//10 + 10//20 ; 10 + 5//20 et 10 + 10//15 ; et les 5 dans le triangle : (2*5)//10 = 5 ou 5//15 = 15/4 et 10/3 //20 ou 10 // ( 10+10/3)
 
cycle de 4 : 10 + 20//20 ; 5//30 , 15//20 , 10 // 25
et enfin ne pas oublier le carré ABCD et sa diagonale AC : R(AC)=10 // 20 //20 puis R(AB)= 10// ( 10 + 10//20) et ne pas oublier R(BD) qui donne un résultat simple grâce à l'antisymétrie électrique ( Va = Vc donc aucun courant Iac=0 )et donc R(BD) = 20//20
 
Il y a donc un doublet de valeur 5 ; une ''triplette'' de valeur 10 ; un doublet de valeur 20.Et les 30 autres valeurs singulet.
 
On conçoit qu'avec 6 résistances, l'exercice devient plus délicat ( ne pas oublier la configuration tétraèdrique ! ).
 
===le rectangle et sa diagonale===
Un rectangle ABCD et sa diagonale AC de résistance c , le grand côté AB de résistance b et le petit côté AD de résistance a .
La résistance R(AC) vaut bien sûr f(a,b,c) = c // [(a+b)/2].
Trouver R(BD) = g(a,b,c) et regarder la pertinence du résultat.
 
Solution :
<math>g(a,b,c) = \frac {(a+b)c + ab}{2c + a+b}</math>
 
résultat pertinent: a et b jouent des rôles identiques; puis en fonction de c : fonction homographique croissante qui pour c=0 est pertinente, ainsi que pour c = infini
remarque : réciproquement, le fait de savoir que R(BD) était une fonction homographique de c , ET la symétrie du montage, ET les deux remarques précédentes donne cet unique résultat !
 
correction : il convient d'utiliser l'antisymétrie par rapport au point O , centre du rectangle ; cela donne comme courants : i sur chaque petit côté et j sur chaque grand , et i-j sur la diagonale ; en suivant deux chemins :
U = V(B)-V(D) = 2a i + c (i-j) = b j + a i . On résout en i et j en fonction de U ; puis I = i + j donne U/R d'où R.
 
Une solution plus rapide (mais plus élaborée) est de trouver par la loi des noeuds-Millman que :
<math>V_C = V_B \cdot \frac{\alpha -\beta}{\alpha + \beta + 2 \gamma}</math>
puis écrire que <math> I = V_B(\alpha+\beta) -V_C (\alpha-\beta) = apres calcul = V_B \frac {(\alpha + \beta)2\gamma +4 \alpha \beta}{\alpha + \beta + 2 \gamma}</math>, ce qui donne G = 1/R.
 
Une solution très élégante est donnée en terme probabiliste ( théorème de fluctuation-dissipation) par Doyle :
 
 
 
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