« Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/L'information » : différence entre les versions
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* Last but not least , le calcul de C(N) pour les gaz parfaits n'est autre que le calcul de la classique constante de Sackur-Tetrode. On retrouve l'entropie de l'Argon_computer à 3ChS.
==la boule B(n)==
Plaçons ici cet encart : calculer le volume de la boule B(n) : nous verrons pourquoi cela a de l'importance, plu tard. Enoncé :
#Un cercle : le disque b(2) = Pi . R^2 et la circonférence s(2) = 2.b(2)/R
#Une boule : b(3) = Pi. R^n et s(3) = n.b(n)/R ;
#Une boule : b(n) et s(n) = n.b(n) ( on fait R=1).
#Trouver la suite b(n) (et bien sûr on aura s(n)). Retenir le cas TRES simple : s(6) = Pi^3
La réponse est :
#si n est pair n= 2p , alors b(2p) = Pi^p/p!
#si n est impair , formule analogue [ à écrire c'est un peu plus compliqué, mais pas "réellement" , il FAUT passer au-dessus de ces détails mesquins ]
Pourquoi ? parce que b(2p+2) = (Pi/p) .b(2p) .end. [il resterait à démontrer simplement cette formule ...donc à compléter].
#b(2) = Pi
#b(4) = b(2).Pi/2 = Pi^2/2
#b(6) = Pi^2/2.Pi/3 = Pi^3/6
#b(8) = Pi^4/6.4 = Pi^4/4!
Et voilà : à partir de n= 3,4 le nombre b(n) qui croîssait décroît : Pi/p est supérieur à 1 si p=3, mais inférieur à 1 si p=4 !
et la somme des b(2p) = exp(Pi) !
La somme des b(2p)(Iz)^p vaut : exp (I Pi z) = (-1)^z ; bizarre...à vérifier.
réflexions issues du Marcel.Berger.
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L'idée est maintenant celle-ci (due à Manin ?) :
Quand n devient très très grand, il faut compter le nombre de solutions de l'inéquation sur les entiers naturels : a^2 + b^2 +c^2 + ... n fois < E^2 : ce nombre est W(2,E) quand E est TRES grand et n est TRES grand aussi ( évidemment E^2 >>> n ) : ce problème est relié aux nombres de Waring.
== les C(n,p)==
Plaçons ici cet encart : étude des C(n,p) quand p est très très grand p=x.n avec x fixé (inférieur à 1 , certes ! ) , càd C(n,x.n) :
alors C(n,xn) = n!/p!q! ~ n!/ (p/e)^p sqrt(p)sqrt(2Pi)q! = n!/q! . exp(x)^n /sqrt(2Pi) . 1/sqrt(x).1/sqrt(n) . 1/ (x^x)^n . 1/n^(xn) donc ~ [[exp x .exp y .exp 1]]. [1/(x^x .y^y)]. 1/sqrt(2Pi.x.y) et l'on constate que C(n,xn) = très grand = 1/sqrt(2Pixy) . 1/(x^x.y^y)^n
Souvent on considère : C(2n, x.2n) = catalan(n) si x =1/2 ;
#Souvent on considère : C(2n, n-k) avec k < sqrt(n) : alors, cela revient à dire x = 1/2 -eps avec eps = k/2n tout petit.Au total, on va retrouver la Gaussienne.
Cet exercice est TRES important ; car il fonde la thermodynamique [[ cf exercice : trouver la position du centre de gravité d'un gaz dans une boîte ( il serait amusant de le poser sur le disque , ou sur la sphère , etc. bigre : sur la surface du cube ... ? ) .
réflexions issues du Combinatorial_issues.
== Retour==
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