« Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute libre, avec vitesse initiale » : différence entre les versions

Soit <math>\phi</math> = angle (OH,Vo). Soit Po le point de portée maximale,sur la courbe(S). Il faut démontrer, avec <math>\theta = 2\phi</math>, que <math>OP = {p/ \over 2<math>} \cdot {1 \over cos^2 \phi}</math>, avec p/2 = OH.

Décomposons le mouvement comme le fait Torricelli :
*Soit '''OR''' = '''Vo'''.t0 , le "mouvement comme rien" !
*et '''RP''' = +1/2 '''g''' .t0^2 la chute verticale.

'''Le triangle ORPo est donc isocèle'''. Considérer le losange OPoRQ de côtés égaux OPo=RPo=RQ=OQ = 1/2 g.t0^2, de centre C : la cote <math>z_C</math> vaut juste OH (car la tangente en Po coupe z=zH en C) ;et alorsdonc onla litcote <math>z_C</math> vaut juste OH ; :

géométriquement, <math>OC = \frac {OH}{cos\phi}</math> et <math>OP = \frac {OC}{cos\phi}</math> , soit <math>OP = \frac {OH}{cos^2 \phi}</math>, CQFD.

* '''La démonstration finale''' : En fait, Torricelli ne s'embarrassait pas de tout ce fatras précédent :car il avait déjà fait ce qu'on appelle le raisonnement de Clairaut. Pour lui , il était clair que Po était le point d'intersection de deux paraboles de tir , tirées "au mieux" pour atteindre Po : soit Q, ce point qui "à la limite " deviendra Po :

On aura <math>\vec{OQ} = 1/2 \vec{g}t^{'2} + \vec{VV_o'}t^'</math>

et donc aussi "courbe dérivée" : <math>\vec{PoQ} = [\vec{VV_o'} - \vec{VV_o}]t^'</math> :

A la limite '''VVo'Vo''' était perpendiculaire à '''Vo''' (car la vitesse garde un module constant) : donc '''PoQ''' perpendiculaire à '''Vo'''. Et donc les deux tangentes devaient donc se couper à angle droit, donc sur la droite orthoptique , soit en C sur la directrice. Donc PoO était corde focale. Dès lors, Torricelli enchaînait sur le calcul précédent.

Tout cela est très intuitif , corroborait Corinne, quelques années plus tard, car '''réciproquement''' pour Po , c'était O le point le plus loin et donc la vitesse en Po était aussi bissectrice, cette fois de (Poz,PoO), donc les deux vitesses en O et en Po sont orthogonales.

On peut ainsi dire que Torricelli non seulement avait compris la parabole comme antipodaire d'une droite (ce qui était bien connu), mais avait aussi compris la notion d'enveloppe d'un réseau de trajectoires <math>T_{\alpha}</math> en considérant l'intersection-limite de <math>T_{\alpha}</math>et <math>T_{\beta}</math>. Ce qui précède Clairaut d'un siècle!