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Même si on est débutant , il vaut mieux apprendre à classer et noter ses exercices dans un recueil.
En voici un . Il a été prévu pour interroger à l'examen (cf [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]] , remarques-en-vrac)
== Système à deux états ==
Soit un système à deux états ( donc un espace vectoriel dont une base orthonormée est {|1> , |2>}.
Un état quelconque est donc représenté par |psi(t)> = A1(t)|1> +A2(t)|2> .
On demande de trouver l'évolution de |psi(t)> sous l'action d'un hamiltonien H de trace nulle (ce qu'il est toujours possible de choisir, sans troubler la généralité , par choix d'origine des énergies).
=== Réponse ===
Niveau 1 : position du problème :
L'évolution est régie par le principe fondamental de la dynamique quantique :
<center> <math>i \hbar \cdot {d \over dt}|\psi(t)> = H |\psi(t)></math> </center>
soit deux équations différentielles, linéaires à coefficients constants, couplées en A1(t) et A2(t), qu'il s'agit d'écrire et de résoudre connaissant (A1(0), A2(0)).On appellera le [determinant de H], réel négatif = <math>-(\hbar \Omega_0)^2</math>.
Niveau 2 : résolution mathématique :
il est assez facile formellement d'écrire que :
<center> <math>|\psi(t)> = U(t)|\psi(0)> = e^{-i {tH \over \hbar} }|\psi(0)></math> </center>,
où U(t) est le traditionnel opérateur d'évolution.
et donc,{ puisque par le théorème de Cayley-Hamilton , <math>H^2 = I\cdot(\hbar \Omega_0)^2 </math>},
le calcul de cet opérateur d'évoultion est simple :
<center> <math>U(t) = I \cdot cos \Omega_0 t -i (H/\hbar \Omega_0) \cdot sin \Omega_0 t</math> </center>
Niveau 3 : pertinence :
1/.Si H est diagonal dans la base choisie , on trouve bien un état stationnaire :
<center> <math> A1(t) = A1(0) \cdot e^{-i \Omega t}</math> </center>
<center> <math> A2(t) = A2(0)\cdot e^{+i \Omega t}</math> </center>
2/. Si H n'est pas diagonal , il n'y a évidemment pas stationnarité : les deux équations sont couplées. Prenons le système initialement dans l'état |1> (A1(0) = 1), il va périodiquement se retrouver partiellement dans l'état |2> :
<center> <math> A2(t) = -i (H_{12} / \hbar \Omega_0)\cdot sin \Omega t</math> </center>
3/. Si l'état initial est vecteur propre de H , évidemment l'état est stationnaire : on le vérifiera en partant de chacun des deux vecteurs propres de H , soit |I> et |II>.
== Système à deux niveaux, excité sinusoïdalement ==
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