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Même si on est débutant , il vaut mieux apprendre à classer et noter ses exercices dans un recueil.
En voici un . Il a été prévu pour interroger à l'examen (cf [[Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences|Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences]] , remarques-en-vrac)
== Dynamique de Kepler ==
=== Lois de Kepler(1571-1630) ===
Soit à résoudre le problème dit mouvement keplérien :
[ de C.I.(conditions initiales) : <math>\vec{OM_o},\vec{V_o}</math>].
{{exemple|énoncé|Mouvement keplerien|'''<math>\ddot{\vec{r}} = - \mu \vec{r}/r^3</math>'''}}
On demande de retrouver les 3 lois de Kepler (cours de Terminales S).
1°/. Montrer que le mouvement est plan, plan défini par les deux vecteurs C.I.(le cas singulier est provisoirement exclu) :
Réponse :
La Conservation du moment cinétique (massique) <math>\vec{L} = \vec{OM}(t)\wedge \vec{V}(t)</math> donne la réponse.
En effet, le champ étant central, la dérivée du moment cinétique est nulle. Donc on aura :
<math>\vec{L} = \vec{L_0} = L_0 \cdot \vec{k}=\vec{OM_0} \wedge \vec{V0}</math>.
Donc le rayon vecteur reste dans LE plan perpendiculaire en O au moment cinétique.
2°/. Montrer que dans ce plan, la particule tourne toujours dans le sens direct, à la vitesse aréolaire constante :
Réponse:
Dans ce plan, deux fois la vitesse aréolaire est <math>r^2 \cdot \dot{\theta} = L_0</math>
{{exemple||Moment cinétique constant|'''<math>r^2 \cdot \dot{\theta} = L_0</math>'''}}
Comme on montrera que r ne s'annule jamais, la vitesse angulaire reste toujours positive. Jamais la trajectoire ne peut "rebrousser chemin". D'autre part, si l'on sait mesurer la vitesse aréolaire, on a une HORLOGE NEWTONIENNE parfaite, que l'on peut comparer à toute autre horloge newtonienne. Cette deuxième loi (de Kepler) fût trouvée par un examen minutieux des données sur le mouvement de la planète Mars, recueillis par Tycho Brahé(1546-1601).
=== Remarque historique : ===
il fût un temps assez court(1949-1961) où les institutions internationales avaient choisi cette définition du TEMPS. La '''réalisation''' de cette horloge était : mesurer au mieux le mouvement quasi-keplerien de la Terre autour du Soleil (après correction de toutes les perturbations possibles :influence de la Lune , des autres planètes, corrections relativistes, etc.).
3°/. Le champ étant central, montrer que l'énergie mécanique massique h (on dit énergie hamiltonienne h en astronomie) est conservée :
Réponse :
En effet l'énergie potentielle (prise nulle à l'infini vaut) = <math>-{\mu \over r}</math>.
Donc, <math>h = h_o = {v^2 \over2} - {\mu \over r}</math> .
{{exemple||Energie constante|'''<math>h = h_o = {v^2 \over2} - {\mu \over r}</math>'''}}
Conclusion : le mouvement est parfaitement défini par les deux équations différentielles précédentes.
Mentalement, on doit penser ainsi : comme l'angle polaire est fonction monotone du temps newtonien , il fournit une "échelle de temps ". Ceci permet d'obtenir l'équation polaire de la trajectoire, via une équation-différentielle-de-Newton.
N'importe quelle autre échelle de temps qui simplifierait le problème serait aussi bienvenue. On verra que L/r est aussi une "bonne échelle de temps".
4°/ Bien que le problème soit virtuellement terminé, il est classique de constater qu'il existe trois autres intégrales premières : Hermann(1713) , Bernouilli et Newton peu après, Laplace , Runge , Lenz , Hamilton, Maxwell, Pauli , beaucoup de noms prestigieux sont attachés à cette intégrale première appelée en astronomie : vecteur excentricité :
{{exemple||<math>\vec{e}=\vec{e_o}</math>|'''<math>\vec{e} = - \vec{u} + \vec{v} \wedge \vec{L}/\mu</math>'''}}
Réponse :
la démonstration la plus simple est : dériver et constater la nullité !
Certains préfèrent réécrire l'équation différentielle avec la variable "échelle de temps <math>\theta(t)</math>" :
<math> L_o{d\vec{v} \over d\theta} = -\mu {\vec{u}}</math>
On obtient immédiatement le résultat par intégration : l'hodographe est un cercle! Prendre le produit vectoriel par le vecteur unitaire <math>\vec{k}</math> est simplement conventionnel.
5°/. En déduire la première loi de Kepler: la trajectoire d'une planète est une ellipse dont le Soleil est un foyer :
Réponse:
Evidemment, une fois connu le vecteur excentricité, la réponse est banale :
Soit M , la position de la planète définie en coordonnées polaires d'axe dirigé selon le vecteur excentrcité . Alors :
<math> \vec{e}\cdot\vec{r} = e \cdot\ r \cdot cos{\theta } = -r + p</math> , avec <math>p = L^2_0/\mu</math>
L'équation polaire est bien celle d'une ellipse de périgée P dirigé vers l'axe des x :
r = p/(1+e.cos<math>\theta</math>)
L'apogée A est à 180° , et r y vaut p/(1-e.cos<math>\theta</math>)
=== troisième loi de Kepler ===
6°/. la troisième loi de Kepler établit que pour une énergie donnée, la périodicité de la révolution ne dépend pas de l'excentricité e mais seulement du grand axe :
{{exemple||Troisième loi de Kepler|'''<math>\Omega^2 \cdot a^3 = \mu</math>'''}}
Le démontrer.
Réponse :
L'aire de l'ellipse est S = Pi.a.b et S/T = Lo/2. Elever au carré, puis éliminer b²/a = p = Lo²/<math>\mu</math>.
7°/ cet exercice se complète usuellement par l'équation du temps de Kepler :
Trouver r(t) et <math>\theta(t)</math>.
Réponse :
Il n'y a pas de formules très simples. On sait dire simplement ceci : soit l'équation de l'ellipse prise en son centre : x= a cos(u) et y = b sin(u) . L'angle u est appelé anomalie excentrique.
La géométrie montre "aisément que :
<math>r(t) = a - c \cdot\cos{u}</math> et <math>tan{\theta\over2} = tan{u \over2}\cdot \sqrt{1+e \over 1-e}</math>
La vitesse aréolaire conduit à l'équation du temps :
{{exemple||Equation du temps de Kepler|'''<math> \omega t = u - e \cdot sin u</math>'''}}
=== Compléments (culturels?) aux lois de Kepler ===
Il s'agit plus de formules utiles, techniquement utiles :
1/.'''le grand axe 2a ne dépend que de l'énergie et pas de Lo''' : 2a = <math>\mu \over -h_o</math>
2/.'''le paramètre p ne dépend que de Lo et pas de l'énergie''' : p = Lo²/<math>\mu</math>.
Pour retrouver ces deux formules, il suffit de prendre le cas circulaire e=0.
3/.L'excentricité e/-e échange périgée et apogée , càd seulement le CHOIX des axes.
e²-1 = 2 Lo².<math>h_o \over \mu</math>
4/.Souvent e est petit (<0.1); Alors le tracé de l'ellipse ne se distingue pas d'un cercle ; Mais le foyer se voit très nettement à droite du centre C : CO = c = a.e .
D'autre part, on a approximativement la position au temps t de la planète en écrivant que le mouvement est angulairement uniforme autour de O' , deuxième foyer de l'ellipse (règle de l'équant de Ptolémée).
La règle suivante est utile (La Hire): à partir de O tracer un cercle de rayon a (le "déférent"), décrit à vitesse uniforme (point I). A partir du point I, construire l'épicycle elliptique décrit de manière rétrograde : IM tel que x= -ae cos <math>\omega t</math> et y =2ae sin <math>\omega t</math>.
Ceci revient à dire en complexe: <math>z = a e^{i\omega t}-c + {c \over 2} [e^{2i \omega t}-1]</math>. C'est, aux notations près, les calculs de Kepler par rapport à ceux de Ptolémée : il fallait bien au moins l'excentricité de Mars pour déceler la différence. Regardez bien cela de près : vous y gagnerez en admiration de Brahé et de Kepler.
===Variations temporelles, u = kepler(t,e)===
5/. les vitesses :penser du/dt = a/r , c'est ce qui rend "l'échelle de temps u(t)" si pratique.
Rappelons d'autre part que l'hodographe est un cercle :
<math>\vec{OP}= \omega(\dot{x}/\omega = -(a^2/b) sin\theta ;\dot{y}/\omega= (a^2/b) cos\theta+cste )</math>..
6/. les valeurs moyennes de r^k se calculent à partir de du/dt = a/r et r= a(1-e.cos u); par exemple <r> = a(1+e²/2)et <r²> = a²(1+3/2 e²)
7/. les valeurs moyennes de 1/r^n se calculent à partir de r = p/(1+e.cos<math>\theta </math>) et la cste des aires ; par exemple :théorème du viriel <1/r> = 1/a ; théorème de l'ensoleillement : <1/r²> = 1/ab = <math>\pi</math>/S ; etc.
8/. '''l'inversion de l'équation du temps''' : u = kepler(t, e) peut se faire de deux façons :
par transformée de Fourier puisque c'est une fonction périodique, impaire. Legendre introduisit à cette occasion les fonctions de Bessel :
<math>e^{ix \cdot sinu} = \Sigma_{\infty}^{\infty} J_n(x)e^{iku}</math>
et trouva donc a/r (paire en t) = <math>1 + 2[J_k(ke)]\cdot cosk (\omega t) </math> et puis u(t) par intégration. La définition des fonctions de Bessel rend "aisément compréhensible" que le même schéma , via une intégration par partie , donnera exp i(mu) à l'aide de <math>J_{k-m}(ke) \cdot e^{ik (\omega t)}</math>. Les logiciels de calcul formel donnent alors toute expression du type f(r,<math>\theta</math>), gràce à la fonction hypergéométrique. Ces expressions ne sont néanmoins pas très simples (pour les non-initiés ; mais un jour viendra... que la fonction hypergéométrique est un bel instrument !).
9/. L'autre façon , si e est petit , est de résoudre en développement de Taylor en e^n.
La très belle formule de Lagrange(1770) , sur l'inversion des fonctions holomorphes (cf Whittaker, p133) s'écrit en posant <math>\omega t = M</math> :
<math>u = M + {e \over 1!} sin M + etc +{e^n \over n!}D^{n-1}sin^n(M) + etc</math>, où D est l'opérateur dérivation.
La recherche du rayon de convergence de cette série a lancé Cauchy sur la prolifique voie des fonctions de la variable complexe. Ceci l'a conduit à la valeur de e suivante :
soit x tel que th x = 1/x , alors e = x/ch x = 0.662...
10/. Hélas donc pour les comètes ! des calculs plus spécialisés ont été faits par Brumberg. 10.bis/. Pourtant ne pas oublier que le cas de la chute libre est e=1 strict et donc z= a(1-cos u) et nt = u - sin u : on a donc le mouvement en paramétrique z(u) et t(u) et on peut même tout écrire comme : nt = f(z) = 2 Arcsin (sqrt(z/2a))-2 sqrt[(z/2a)(1-z/2a)]: oui !! clairement la singularité est nt ~ u^3/6 et z/a ~ u^2/2 (une vieille connaissance maintenant!)et à l'autre bout, devinez : z= 2a -1/2 g t² , n'est-ce pas joli ?
11/. hélas aussi! ce n'est point tant ces belles (?) formules qui servent si l'on doit fabriquer des éphémérides : on préfère un calcul RAPIDE de u(t)= kepler(t, e): 300 ans de recherche n'ont toujours pas épuisé le sujet : "à vous de jouer et de trouver mieux" (cf COLWELL, déjà cité dans la WP). Ces recherches ne sont pas vanités : on sait remonter les éphémérides terrestres jusqu'au Néogène, ce qui a permis aux astronomes de fournir une échelle GEOLOGIQUE très utile (échelle 2004), surprenante retombée d'un problème de cosmogonie où se sont succédés, après Aristarque , Ptolémée , Copernic, Kepler et NEWTON.La prochaine étape, si vous trouvez mieux, permettra avec des processeurs 128 bits de remonter au jurassique, soit il ya 65 Myr : les géologues sont demandeurs !
=== Exercices Kepler ===
1/. Le premier des exercices à faire est d'observer soigneusement une trajectoire de faible excentricité pour s'apercevoir à quel point il est difficile de la distinguer d'un cercle , MAIS que par contre il est très visible que le mouvement n'est pas uniforme , et que la règle de l'épicycle de la Hire donne une meilleure précision que la règle de Ptolémée. IL FAUT AVOIR FAIT SOI-MEME CE DESSIN (prendre e = 0.1 par exemple et 2a = 20cm).
Réponse :
2/. le deuxième exercice fondamental est de comprendre ce que veut dire synodique :
on prendra une planète fictive M , orbitant avec une période de 2ans , et une fictive V de période 0.5 an (on prendra toutes les excentricités égales à e=0.1).On tracera sur un logiciel graphique T(t), M(t) et V(t); puis à T(t) bloqué (référentiel synodique), le mouvement de M(t) et de V(t).
On peut aussi "stroboscoper le mouvement de M et de V juste au moment où T repasse à son périgée : si on est rigoureusement à la résonance 1:2 ou 2:1 que voit-on (ne pas oublier e= 0.1)?
Réponse :
3/. Mercure a ceci de particulier que son excentricité est assez grande et que son pivotement fait qu'un jour dure deux ans (résonance dite 3:2). Montrer qu'il y a des mercuriens qui voient le soleil se lever, puis se coucher et se lever à nouveau . D'autres, à la longitude +Pi/2 ,voient 3 midis par jour.
Réponse :
4/. En fait, l'objet le plus perturbant du système solaire est Jupiter. A quelle orbite correspond la résonance 1:2 de la ceinture des astéroïdes ? Comment interprétez-vous la non-formation de planète à cet endroit? Pouvez-vous tracer d'autres orbites correspondant à des vides (les gaps de Kirkwood(1842?)). Montrer que Saturne n'est pas loin de la résonance 5/2.
5/. Moltchanov fût un des premiers à remarquer ce surnombre de "rationnels" dans le système solaire. Il y avait donc des résonances m:(m+1) et plus généralement m:(m+k) d'ordre e^k en excentricité. Compte-tenu du fait que tout irrationnel est "proche" d'un rationnel, montrer que cette dépendance en e^k "sauve" la remarque de Moltchanov. En dessinant la trajectoire (e = 0.1) d'un résonant M de Jupiter intérieur, montrer que la distance MJ est périodique : de quelle période pour une résonance m:(m+k)?
=== Autres exercices en vrac ===
6/. Quand la Terre est à son périgée, on envoie depuis l'apogée un petit satellite S exactement sur la même trajectoire dans le même sens. On demande de tracer l'angle (OT,OS) , O étant le soleil, au cours du temps sur un an . Pouvez-vous en trouver le développement de Fourier?
Réponse :
7/. Dans l'exercice précédent, le satellite est lancé dans l'autre sens : où rencontre-t-il la Terre. En admettant le choc élastique (càd que le satellite ferait un demi-tour autour de la Terre), le satellite sortirait-il du système solaire ? Quelle serait sa rajectoire ?
Réponse :
8/. Problème de Gibbs : on donne 3 positions assez voisines d'une comète à trois temps donnés. Déterminer le mouvement de la comète.
Réponse :
9/. Problème de Lambert : on donne 2 positions assez voisines à deux dates : montrer que t2-t1 est lié à OP1, OP2 et la corde P1P2.
Réponse :
10/.Problème de Lagrange : Trois étoiles de masse m1,m2 et m3 tournent en restant à égales distances , formant un triangle équilatéral : période ?
Le problème de la stabilité de cette configuration est délicat. La stabilité linéarisée est donnée par la célèbre règle de Lagrange P < 27 M^2 où P = produit circulaire des masses et M = somme des masses. Dans le cas où une des masses est négligeable quel est le rapport-limite des deux autres ?
11/. O (soleil , J (jupiter) et T (troyen) forment un triangle équilatéral (on néglige l'excentricité de Jupiter).On lance de Jupiter un petit satellite sur le même cercle mais dans le sens opposé : quand rencontrera-t-il T ? (termS)
12/. problème de Hohmann : Partir de la Terre et atteindre Mars (on néglige les excentricités): quelle sera la trajectoire de la navette N et sa période: montrer que si on veut décharger des paquets(des modules type mars-express) , il faudra soit les ralentir soit les accélérer.
13/.Mars ainsi que la Terre ont leurs excentricités qui varient au cours du temps. Que pourrait-il arriver si elles devenaient trop grandes et décrire un scénario possible ?
=== Autres exercices type balistique extérieure ===
On appelle balistique extérieure le lancement d'obus, mais de trajectoires elliptiques et non plus paraboliques , ce qui rend les exercices un peu plus difficiles (disons niveau Saint-Cyr).
1/. Montrer que si Vo est inférieur à la première vitesse cosmique (sqrt(gR), il existe la notion de courbe de sûreté qui cette fois est une ellipse : un point de cette ellipse est évidemment le point H situé à la verticale de la base B, d'altitude h : montrer que 1/h +1/R = 1/ho avec 2gho = Vo².(termS)
2/. Un peu plus dur : trouver qu'il est naturel que cette ellipse ait comme foyers B et le centre de la Terre O . La tracer. Montrer que bien sûr si h = R , Vo = sqrt(gR). Trouver la portée des obus en fonction de l'angle de tir. Montrer que là aussi, il y a deux types de trajectoires , la trajectoire dite tendue et la trajectoire type mortier.
3/. Il s'ensuit tous les pb cyrards que vous voudrez : cf la revue de Saint-Cyr.
4/. O, la base B et la cible C forment un triangle équilatéral. Trouver la vitesse minimale de tir.
(En général au concours, on peut prendre BOC = theta donné (< Pi)).
== Polynômes harmoniques sphériques ==
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