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« Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La chute ralentie sur plan incliné » : différence entre les versions

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Ce genre de "raisonnement" est très puissant. Il est gedanken , car il y a toujours la résistance de l'air à vaincre ; mais Galilée y avait déjà répondu : "je me place dans la situation idéale, où elle n'existe pas. Je ne dis pas que c'est possible, mais je l'imagine possible".
 
EvidemmentÉvidemment , en prenant <math>\beta </math> très petit, cela permet d'amener les pierres très loin à droite, et même très, très loin si <math>\beta </math> est très très petit, et même si <math>\beta </math> est nul , alors les pierres sont lancées à une vitesse Vo et ne peuvent pas s'arrêter : on dit qu'elles ont de l'INERTIE : toute personne qui a manipulé une brouette de terre le sait bien : en allant assez vite, avec la vitesse Vo , il pourra remonter , en gros, à la hauteur h = Vo²/2g , grâce à la quantité d'inertie (cela s'appelle la masse en physique) de la brouette(et il est très bizarre-et cela s'appelle la Loi de Galilée- que cette hauteur soit indépendante de la quantité d'inertie : cette apparente contradiction est choquante. C'est le grand mérite de Galilée d'avoir insisté sur ce point : il n'y a pas de contradiction!).
 
Il faut que tout ceci , avec les lois du choc (leçon choc frontal) forme un système de lois auto-cohérentes : il restera à les vérifier expérimentalement, en se rapprochant aussi parfaitement que possible de ces conditions idéales.
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Ainsi se présente Galilée :
 
Je suis un philosophe des choses de la Nature ; je pense et je dialogue sur des idées et des concepts, et je vais aussi loin que je peux dans les conséquences MATHEMATIQUESMATHÉMATIQUES de ce que je dis : s'il n'y a pas d'auto-contradiction , je continue , car cette construction , ce JEU de l'esprit est BEAU et m'enchante.
 
EvidemmentÉvidemment , cela n'est admissible que si l'expérience le CONFIRME.
 
Un système auto-cohérent dans TOUT ce à quoi il peut conduire et que l'expérience confirme , voilà une partie du sens des DIALOGUES de Galilée en 1638.
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Certes, LORD IS SUBTLE (dixit Einstein):le Grand Horloger qui a minutieusement donné ce système de compréhension de la Nature à l'Homme est subtil . Même aujourd'hui encore , des physiciens imaginent des gedanken-experiments pour tester l'auto-cohérence de cette "re-présentation" du monde.
 
Le monde existe avec ses Lois : le philosophe de la Nature doit mener une enquête très serrée pour les découvrir, "soulever un coin du voile" ; dans cette QUETEQUÊTE , les mathématiques l'aident beaucoup à les re-présenter.
Les a priori aident très peu.Il faut de temps à autre les bousculer : jamais personne n'a vu une brouette lancée à Vo continuer éternellement à transporter ses pierres vers la droite ;
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L'exemple est resté fort célèbre : après que Galilée eût énoncé cette manière de discourir, on a construit la mécanique ici décrite (dite newtonienne). En 1905 , Einstein a démontré qu'elle était logiquement fausse, pour le mouvement : aucune particule ne peut aller plus vite que la vitesse de la lumière (et cela est parfaitement vérifié expérimentalement). Et il a rebâti toute une autre mécanique en 1905. La réaction fût la même que du temps de Galilée : on mît un "certain temps" à le croire , comme pour les dialogues et les discours de Galilée. Mais sa théorie était auto-cohérente, de très belle architecture et surtout expliquait mieux la Nature aux très grandes vitesses.
 
Il a fallu abandonner certaines choses dites par Galilée , mais le schémeschéma de base du raisonnement [ la tension entre le penser auto-cohérent re-présentant la Nature et l'expérience] n'a absolument jamais été remis en cause , bien au contraire : Galilée est ENCORE présent parmi nous.
 
==Résumé: loi des cordes : a = g.sin<math>\alpha </math>==
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=== Parcours d'Alexandre le Bienheureux ===
On convient d'appeler ainsi un parcours tel que chaque étape dure le même temps. EvidemmentÉvidemment comme, dans la réalité, il y a un peu de frottement, un mécanisme extérieur éraseécrase la mémoire du premier tour et injecte la particule au début du parcours. En voici un assez jubilatoire: à vous de jouer!
 
Un petit skate (pour l'instant , on le considèreraconsidérera comme un palet glissant sans frottement ; on verra la différence plus tard) est lancé à la vitesse Vo sur une voie horizontale de longueur a ; il met donc le temps T = a/Vo à la parcourir. Et voilà , c'est parti , à vous d'imaginer ce qui va arriver à ce petit esquif !
 
Un exemple :
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=== Exercice choc sur plans inclinés ===
Une descente inclinée d'angle 30°, raccordée à une montée d'angle beta dont le sinus vaut 1/4. Même hauteur h .
A gauche un skate G de masse 2m , à droite un skate D de masse 3m , lachéslâchés de sorte que le choc ait lieu à droite à l'altitude h/2.
Si le choc a un coefficient de restitution e= 1/2 , trouver l'altitude où remonte chaque skate.
 
==== Solution choc sur plans inclinés ====
EvidemmentÉvidemment l'exercieexercice est largement simplifié par les mots ["de sorte que"]!
Alors G a une vitesse sqrt(gh)=Vo et D la vitesse opposée. La vitesse relative est donc 2Vo avant le choc et devient Vo après le choc.
La conservation de l'impulsion donne alors , afteraprès le choc , Vg = -4/5.Vo et Vd = 1/5 .Vo (on peut vérifier, la solution est unique !).
Donc G remonte à gauche jusqu'à l'altitude h/2 +8/25 h = h(41/50); et D remonte à h/2+ 1/50 .h = 26/50 .h : l'effet sur le skate de Gauche est donc très spectaculaire.Evidemment Évidemment, il y a eu perte d'énergie.
 
=== Exercice:horloge de Torricelli ===
Il s'agit tout simplement d'une cuvette symétrique formée de deux plans inclinés d'angle 30°, de hauteur h , de longueur 2h : un skate y glisse perpétuellement avec la période T = 4. sqrt(2.2h/(g/2)) = sqrt(h/g).8sqrt(2).Le vérifier.
En fait, il faut maintenir la remontée à la hauteur h par une légère maneuvremanœuvre du V , que l'on incline à droite dans la descente à droite et à gauche dans la descente à gauche, très légèrement. L'horloge est donc légèrement fausse, mais erreur de justesse n'est point grave : il suffit qu'elle soit régulière : pas d'irrégularité sur sa période T'(légèrement voisine de T), c'est tout ce qu'on demande à une horloge!
 
== Horloge de Galilée ==
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<math> T = 2\pi \sqrt \frac{l}{g} </math>
 
EvidemmentÉvidemment , Galilée ne trouva pas cette formule (les unités n'existaient pas, non plus que l'expression acclérationaccélération de la pesanteur = g =~9.81 m/s²). C'est Huygens qui trouva le facteur 2Pi ; et enfin Galilée croyait que la formule était vraie pour toute amplitude "raisonnable", ce qui est "presque vrai" , donc FAUX.
 
Un pas en direction de cette formule fût fait par Torricelli : il imagina que la cuvette était une succession infinie de plans inclinés.
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Soit V la vitesse atteinte après chute de B en A : le parcours AO dure t= a/2V = 1/2 .sqrt(R/g). Le parcours AB dure AB/[(V+0)/2] soit un peu plus que sqrt(R/g). Donc T = ~ 4.(3/2)sqrt(R/g) ; soit la valeur Pi = ~ 3 ! Ce n'est pas si mal pour une auge aussi rudimentaire.
 
Galilée disait,lui, que le trajet de B en O durait 2 sqrt(R/g), soit Pi ~ 4 , car il prenait simplement la durée selon la corde BO, durée qui ne dépend pas de la corde et donc est valable pour la verticale! il est en contradiction manifeste avec l'expérience; car si B est très voisin de O sur le cercle, et qu'on lâche simultanément le mobile en B et le mobile en O' à la verticale de O - OO'= 2R, on imagine mal les voir arriver simultanément en O : 1> Pi/4 se voit aisément expérimentalement. Il est fréquent qu'un très grand physicien se trompe aussi , surtout quand une science est en train de naître. Mersenne fût un des premiers à signaler cette faute et à demander la valeur (2Pi), réponse qui ne sera fournie que par Huygens, plus tard.
 
=== Cercle osculateur de Huygens : ===
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Solution : soit O le point le plus bas de la cycloïde de Huygens: l'équation s'écrit x=~2a. u et y = a u²/2 . Donc R = 4a . Or SA période est 2Pi.sqrt(4a/g). Il l'identifie à la période du pendule circulaire de rayon R =4a. On a enfin le fameux facteur 2Pi.
 
Remarque : à l'époque, on ne s'exprimait pas ainsi. On comparait un temps à un temps : celui par exemple de la chute libre selon une distance verticale 2R , t0 = 2.sqrt(R/g) et Mersenne avait posé la question de trouver par la théorie le rapport, qu'on savait proche de 2 + sqrt(2). De plus Mersenne avait soigneusement observé que la période des oscillations du pendule circulaire N'ETAITÉTAIT PAS CONSTANTE : elle augmentait légèrement avec l'amplitude; Borda(1733-1799)donna bien plus tard la formule approchée :
<math>T = T_0 [1 + \frac{\theta_0^2}{16}]</math>,
 
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Soit:pourquoi 9.8696 est-il proche de g = 9.81 m/s² ? La question peut paraître saugrenue, puisque g dépend des unités! Bonne pioche! c'est de ce côté-là qu'est la réponse.
 
Réponse: du temps de la Révolution française fûrentfurent jetées les bases d'un système de Poids et Mesures "pour tous les Temps, pour tous les Hommes" , selon la formule de Talleyrand(grand diplomate français,1754-1838). Il fallait pour une unité les qualités suivantes :
* être pérenne
* être universelle
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la longueur d'un pendule simple qui battrait la seconde fût envisagée.[Certainement un des premiers à l'énoncer est [[Isaac Beeckman]] (1588-1637)]. Et l'on savait grâce à la formule de Clairaut comment corriger de la variation de g avec la latitude. mais on savait que cette formule n'était pas exacte : il y avait quelque écart après corrections entre Londres, Paris et Postdam . On pensait la Terre de révolution : aussi par souci d'universalité, choisît-on le quart du méridien égal à 10 000 km par définition , ce qui était très proche de la longueur du pendule , d'où la réponse : si le mètre avait été la longueur du pendule on aurait eu g = Pi² par définition!
 
Il s'en est donc fallu d'un décret. Cette définition via le méridien n'était malheureusement pas facilement accessible. On revînt à la longueur entre deux traits tracés sur une règle indilatablenon dilatable (en platine iridié, à une température de 15°C). La règle fût placée au Pavillon du BIPM et servît pour fabriquer les étalons secondaires de toutes les nations jusqu'en 1959)(cf l'article S.I. dans la WP). Par rapport à cette règle , le méridien fait 40 007 km, car les physiciens n'avaient pas mieux comme précision sur ce méridien !
 
 
 
=== Jeu de Pistes ===
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Réponse : AP = ... .
 
Solution : L = 1/2.g'.T². EvidemmentÉvidemment Jeannot se trouve exactement d = 10m derrière Tortor avec la même vitesse, soit 2L/T , d'où son retard tau = d/(2L/T), mais avec une vitesse légèrement supérieure de 2L/T .(d/2L) = d/T : il ne comblera son retard qu'au bout du temps T, soit au bout de 2L de terrain plat !Donc AP= 2L! Ce qui est très surprenant, c'est que si d<<L , le résultat ne dépende pas de d [en réalité Jeannot double Tortor sur le fil en faisant le calcul complet]: en général, on évalue mal la performance de Jeannot (il faut dire qu'on skie rarement dans le vide !).
 
2/ Sur un plan incliné d'angle alpha, un skieur au point A doit regagner dans le temps minimum une ligne située plus bas. Il peu descendre schuss selon la ligne de plus grande pente et atteindre le point B. Mais il peut aussi choisir le chemin le plus court qui mène en H tel que AH soit perpendiculaire à la ligne d'arrivée. D'après le théorème des cordes, les deux temps sont identiques. Soit alors M milieu de BH : Le skieur a-t-il intérêt à viser un point entre M et B ou un point entre M et H ?
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Si U est c_ , alors la dérivée de I est c_ .
 
*Dans des cas très spéciaux de discontinuités ou de C(t) ou de L(t) , il faut revenir sur la déFinitiondéfinition de ces 2 composants.
 
===Variables d'état ===
 
Théorème : tout système linéaire d'éq_dif_linéquations différencielles linéaires à coef_constants_réelscoefficients constants réels peut en choisissant convenablement les variables d'état se ramener à :
 
<math> \dot X = A \cdot X</math>,
 
A matrice réelle, et X appelé vecteur qualifiant l'ETATétat du système.
 
=== Résolution par Euler ===
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== Retour ==
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