« Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Devoir surveillé 1 » : différence entre les versions

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Soit un point de départ D(0,0), et un départ lancé de vitesse V°. Quelle est la meilleure piste de ski pour atteindre le point arivée A(a,0) situé plus loin ? Très banalement, ceci se ramène au problème suivant : soit b = a/2 . Comment atteindre la droite d'abscisse x = b "au mieux", et trouver le point B(b, -z°) où passe la piste : on comprend aisément que le reste de la piste sera la piste symétrique par rapport à x = b .
Il reste donc à trouver la piste de ski optimale entre D et B(B est encore inconnu!).
On perçoit intuitivement le problème : si on prend une pente trop grande, on ira plus vite, mais on sera moins propulsé vers les grandes abscisses. Il y a donc "optimum" à trouver. Si on trouve la bonne pente de départ, comme le processus se reproduit au temps ultérieur, cette indication sera sans doute suffisante ! On répètera le raisonnement et donc on adaptera à chaque position la trajectoire de la même manière [ il s'agit de programmation-dynamique avant la lettre, si on le dit comme ça, façon Pontryagine-Bellman]. Mais sitôt dit cette phrase, il apparaît qu'il suffit de savoir résoudre le problème pour V°=0!
 
'''Le problème de Bernouilli, départ arrêté ''' : on comprend immédiatement qu'il vaut mieux se laisser tomber en chute libre depuis le point-départ D, et sitôt après commencer à progresser vers le point B , où la trajectoire est horizontale ( par symétrie, voir plus haut) ; la trajectoire va ressembler à une piste-de-ski-de-saut. Montrer que le point B est à (b, -z°= -2/Pi. b) n'est pas immédiatement évident. Pour simplifier, on va montrer que cette constante cste = 2/Pi peut être approchée par 1/2 : en effet le problème peut se considérer approximativement comme un problème déjà examiné : se laisser tomber de z° , puis avec la vitesse acquise sqrt(2g.z°) parcourir la distance b , soit le temps sqrt(2z°/g) + b /sqrt(2g.z°), minimum pour sqrt(2z°) = sqrt(b), d'où z° = b/2 ; puis Tmin ~ 2sqrt(b/g) (''remarque'' : beaucoup plus court que le temps mis le long du plan icliné DB, qui aurait été sqrt(5) .sqrt(b/g)).
 
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