« S'initier au boulier en 10 leçons/Leçon 5 » : différence entre les versions

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{| width="100"% cols="3" border="1" align = "right"
{{Boulier}}
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| colspan="3" align="center" | <b>[[S'initier au boulier en 10 leçons]]</b>
'''Leçon 5 - La multiplication'''
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<BR/>
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| align="center" | [[S'initier au boulier en 10 leçons - Leçon 6|Leçon 6]]
|}
''' La multiplication de grands nombres'''
<br/>
<br/>
 
En toute théorie une multiplication par n consiste à ajouter n fois le même nombre. Mais il parait peu approprié et certainement trop long d'ajouter 47 fois 283 à lui même pour obtenir 47 &times; 283.
 
Voici les différentes étapes du produit de 326 par 4807
Donc plusieurs aides sont à notre disposition
* la distributivité: <math>n\times (100x + 10y + z) = 100\times nx + 10\times ny + nz</math>
* Multiplier un nombre par 10 revient à le décaler d'une rangée sur la gauche
* les tables de multiplication (à savoir)
 
*Ecriture de 4807 :
== Multiplication par un nombre à un chiffre==
On commence par multiplier le poids le plus fort.
Pour effectuer la produit 7 &times; 283
On écrit le multiplicateur à gauche sur le boulier, ou sur une feuille de papier, et on écrit 283 classiquement à droite.
Ici la boule rouge représente le calcul non effectué.
 
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{| cols="10" cellspacing="0" cellpadding="0"
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| align="center" | <font color="red">2 </font>0
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* 4 &times; 326
** 4 &times; 3 = 12 :
{| cols="10" cellspacing="0" cellpadding="0"
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| align="center" | 1
| align="center" | 2
| align="center" | 0
| align="center" | <font color="red">4 </font>
| align="center" | <font color="red">8 </font>
| align="center" | <font color="red">0 </font>
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** 4 &times;2 = 8 :
{| cols="10" cellspacing="0" cellpadding="0"
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| align="center" | 1
| align="center" | 2
| align="center" | 8
| align="center" | <font color="red">4 </font>
| align="center" | <font color="red">8 </font>
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| align="center" | <font color="red">7 </font>
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[[Image:Vertic.png]]<br />
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[[Image:Boule-grise.png]]
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* On effectue le produit de 2 par 7 (14) , que l'on met '''à la place''' de 2. Le chiffre 2 a alors disparu mais c'est sans importance car il n'est plus utile.
 
** 4 &times;6 = 24 :
<center>
{| cols="10" cellspacing="0" cellpadding="0"
|-----
| align="center" | 1
| align="center" | 3
| align="center" | 0
| align="center" | 4
| align="center" | <font color="red">8 </font>
| align="center" | <font color="red">30 </font>
| align="center" | <font color="red">7 </font>
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Ligne 83 ⟶ 259 :
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[[Image:Vertic.png]]<br />
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[[Image:Boule-grise.png]]
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*multiplication de 8 par 326
** 8 &times; 3 = 24 :
{| cols="10" cellspacing="0" cellpadding="0"
|-----
| align="center" | 1
| align="center" | 5
| align="center" | 4
| align="center" | 4
| align="center" | <font color="red">8 </font>
| align="center" | <font color="red">0 </font>
| align="center" | <font color="red">7 </font>
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[[Image:Boule-grise.png]]
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[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Horiz-r.png]]<br />
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[[Image:Boule-noire.png]]<br />
[[Image:Vertic.png]]
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[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-rouge.png]]<br />
[[Image:Horiz-r.png]]<br />
[[Image:Boule-rouge.png]]<br />
[[Image:Boule-rouge.png]]<br />
[[Image:Boule-rouge.png]]<br />
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]
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[[Image:Boule-grise.png]]<br />
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[[Image:Horiz-r.png]]<br />
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[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-rouge.png]]<br />
[[Image:Horiz-r.png]]<br />
[[Image:Boule-rouge.png]]<br />
[[Image:Boule-rouge.png]]<br />
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]
|}
</center>
 
** 8 &times; 2 = 16 :
* On effectue le produit de 8 par 7(56), que l'on met '''à la place" de 8, le chiffre 5 venant s'ajouter au nombre précédent.
{| cols="10" cellspacing="0" cellpadding="0"
|-----
| align="center" | 1
| align="center" | 5
| align="center" | 6
| align="center" | 0
| align="center" | <font color="red">8 </font>
| align="center" | <font color="red">0 </font>
| align="center" | <font color="red">7 </font>
|-----
|
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Horiz-r.png]]<br />
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[[Image:Boule-noire.png]]<br />
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[[Image:Boule-grise.png]]<br />
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[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-rouge.png]]<br />
[[Image:Horiz-r.png]]<br />
[[Image:Boule-rouge.png]]<br />
[[Image:Boule-rouge.png]]<br />
[[Image:Boule-rouge.png]]<br />
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]
|
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[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Horiz-r.png]]<br />
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]
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[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-rouge.png]]<br />
[[Image:Horiz-r.png]]<br />
[[Image:Boule-rouge.png]]<br />
[[Image:Boule-rouge.png]]<br />
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]
|}
 
** 8 &times; 6 = 48 :
<center>
{| cols="10" cellspacing="0" cellpadding="0"
|-----
| align="center" | 1
| align="center" | 95
| align="center" | 6
| align="center" | <font color="red">3 </font>4
| align="center" | 8
| align="center" | <font color="red">0 </font>
| align="center" | <font color="red">7 </font>
|-----
|
Ligne 139 ⟶ 493 :
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-noire.png]]<br />
[[Image:Horiz-r.png]]<br />
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]
|
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-noire.png]]<br />
[[Image:Horiz-r.png]]<br />
[[Image:Boule-noire.png]]<br />
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]
|
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Horiz-r.png]]<br />
[[Image:Boule-noire.png]]<br />
Ligne 149 ⟶ 521 :
[[Image:Boule-noire.png]]<br />
[[Image:Horiz-r.png]]<br />
[[Image:Boule-noire.png]]<br />
[[Image:Boule-noire.png]]<br />
[[Image:Boule-noire.png]]<br />
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]
|
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Horiz-r.png]]<br />
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]
|
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-rouge.png]]<br />
[[Image:Horiz-r.png]]<br />
[[Image:Boule-rouge.png]]<br />
[[Image:Boule-rouge.png]]<br />
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]
|}
 
*multiplication de 0 par 326 (rien à faire)
*multiplication de 7 par 326
** 7 &times; 3 = 21 :
{| cols="10" cellspacing="0" cellpadding="0"
|-----
| align="center" | 1
| align="center" | 5
| align="center" | 6
| align="center" | 6
| align="center" | 9
| align="center" | 0
| align="center" | <font color="red">7 </font>
|-----
|
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Horiz-r.png]]<br />
[[Image:Boule-noire.png]]<br />
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]
|
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-noire.png]]<br />
[[Image:Horiz-r.png]]<br />
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]
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[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-noire.png]]<br />
[[Image:Horiz-r.png]]<br />
[[Image:Boule-noire.png]]<br />
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]
|
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-noire.png]]<br />
[[Image:Horiz-r.png]]<br />
[[Image:Boule-noire.png]]<br />
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]
|
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-noire.png]]<br />
[[Image:Horiz-r.png]]<br />
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[[Image:Boule-noire.png]]<br />
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[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
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[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-rouge.png]]<br />
[[Image:Horiz-r.png]]<br />
[[Image:Boule-rouge.png]]<br />
[[Image:Boule-rouge.png]]<br />
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]
|}
</center>
 
** 7 &times; 2 = 14 :
{| cols="10" cellspacing="0" cellpadding="0"
|-----
| align="center" | 1
| align="center" | 5
| align="center" | 6
| align="center" | 7
| align="center" | 0
| align="center" | 4
| align="center" | <font color="red">7 </font>
|-----
|
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Horiz-r.png]]<br />
[[Image:Boule-noire.png]]<br />
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]
|
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-noire.png]]<br />
[[Image:Horiz-r.png]]<br />
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]
|
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-noire.png]]<br />
[[Image:Horiz-r.png]]<br />
[[Image:Boule-noire.png]]<br />
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
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[[Image:Boule-grise.png]]
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[[Image:Horiz-r.png]]<br />
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[[Image:Vertic.png]]<br />
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[[Image:Boule-grise.png]]
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[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Horiz-r.png]]<br />
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]
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[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Horiz-r.png]]<br />
[[Image:Boule-noire.png]]<br />
[[Image:Boule-noire.png]]<br />
[[Image:Boule-noire.png]]<br />
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[[Image:Vertic.png]]
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[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-rouge.png]]<br />
[[Image:Horiz-r.png]]<br />
[[Image:Boule-rouge.png]]<br />
[[Image:Boule-rouge.png]]<br />
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]
|}
 
** 7 &times; 6 = 42 :
* On effectue le produit de 3 par 7 (21) que l'on met '''à la place''' de 3, le chiffre 2 venant s'ajouter au nombre précédent
 
<center>
{| cols="10" cellspacing="0" cellpadding="0"
|-----
| align="center" | 1
| align="center" | 95
| align="center" | 6
| align="center" | 7
| align="center" | 0
| align="center" | 8
| align="center" | 12
|-----
|
Ligne 191 ⟶ 724 :
[[Image:Boule-noire.png]]<br />
[[Image:Horiz-r.png]]<br />
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]
|
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-noire.png]]<br />
[[Image:Horiz-r.png]]<br />
[[Image:Boule-noire.png]]<br />
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]
|
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-noire.png]]<br />
[[Image:Horiz-r.png]]<br />
[[Image:Boule-noire.png]]<br />
[[Image:VerticBoule-noire.png]]<br />
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]
|
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Horiz-r.png]]<br />
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]
|
[[Image:Vertic.png]]<br />
Ligne 209 ⟶ 769 :
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Horiz-r.png]]<br />
[[Image:Boule-noire.png]]<br />
[[Image:Boule-noire.png]]<br />
[[Image:Vertic.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]<br />
[[Image:Boule-grise.png]]
|}
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Le résultat est donc 1 567 082
 
Le résultat final est alors : 1981
 
''Pour s'exercer'' : [[S'initier au boulier en 10 leçons - Leçon 6|leçon 6]]
 
== Multiplication par un nombre à deux chiffres ==
On effectuera aussi la multiplication en commençant par les termes de poids fort.
 
[[S'initier au boulier en 10 leçons - Leçon 5bis|Voir l'exemple]]
Comment multiplier 283 par 47?
 
== Encore plus fort ==
On peut faire le produit de nombres comportant encore plus de chiffres à condition que le nombre de rangées soit suffisant.
 
[[S'initier au boulier en 10 leçons - Leçon 5ter|Voir l'exemple]]: Comment multiplier 4807 par 326 ?
 
==Et pour les nombres à virgule?==
La multiplication d'un nombre à virgule par un entier est une opération simple. En écrivant le nombre à virgule, on choisit la colonne qui sera colonne unité. Le résultat final sera alors correctement écrit.
 
''Exemple '' : Pour multiplier 2,83 par 47. On repère la colonne des unités qui sera la troisième colonne et on écrit 283. On effectue le produit comme dans l'[[S'initier au boulier en 10 leçons - Leçon 5bis|exemple]]. Le résultat final sera alors 133,01 car la troisième colonne est restée colonne des unités.
 
La multiplication d'un nombre à virgule par un autre nombre à virgule nécessite une étape supplémentaire.
 
''Exemple'' : Pour multiplier 480,7 par 3,26, on multiplie 480,7 par 326 en repérant que la colonne des unités est la seconde. On effectue le produit comme dans l'[[S'initier au boulier en 10 leçons - Leçon 5ter|exemple]]. Le résultat intermédiaire est alors 156 708,2. Comme, en réalité, on devait multiplier par 3,26 et non 326, il faut encore diviser ce nombre par 100, donc déplacer de deux rangées sur la gauche la rangée des unités. Le résultat final est alors 1567,082