« Propriétés métriques des droites et plans » : différence entre les versions
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Ligne 67 :
=== Distance d'un point M à une droite quelconque D de l'espace ===
==== Cas où la droite est définie par un point <math>M_0</math> et un vecteur <math>\overrightarrow{V}</math> non nul ====
La distance <math>MH</math> est donnée par
: <center><math>MH = \frac{\|\overrightarrow{MM_0}\wedge \vec V\|} {\|\vec V\|}</math></center>
==== Cas ou la droite est définie par l'intersection de deux plans ====▼
:<math>P_1 = u_1x+v_1y+w_1z+h_1 = 0\,</math>▼
:<math>P_2 = u_2x+v_2y+w_2z+h_2 = 0\,</math>▼
le plan <math>Q\,</math> perpendiculaire à <math>P_1\,</math> appartient au faisceau de plans <math>P_1 + \lambda P_2= 0\,</math>▼
<math>Q\,</math> sera perpendiculaire à <math>P_1\,</math> pour <math>\lambda = \frac{-(u_1^2 + v_1^2+w_1^2)}{u_1u_2+v_1v_2+w_1w_2}\,</math>▼
Soit <math>H_1, H_Q, H \,</math> les projections orthogonales du point <math>M\,</math> respectivement sur <math>P_1, Q, D\,</math>, on en déduit <math>MH^2 = MH_1^2 + MH_Q^2\,</math> ▼
{{Cas d'application|Distance d'un point à un plan}}▼
=== Droites orthogonales à un plan ===
Ligne 150 ⟶ 163 :
En valeur absolue:
<center><math>\|\overrightarrow{HM}\| = \frac{|ux+vy+wz+h|}\sqrt{u^2 + v^2+w^2}</math></center>
▲==== Cas ou la droite est définie par l'intersection de deux plans ====
▲:<math>P_1 = u_1x+v_1y+w_1z+h_1 = 0\,</math>
▲:<math>P_2 = u_2x+v_2y+w_2z+h_2 = 0\,</math>
▲le plan <math>Q\,</math> perpendiculaire à <math>P_1\,</math> appartient au faisceau de plans <math>P_1 + \lambda P_2= 0\,</math>
▲<math>Q\,</math> sera perpendiculaire à <math>P_1\,</math> pour <math>\lambda = \frac{-(u_1^2 + v_1^2+w_1^2)}{u_1u_2+v_1v_2+w_1w_2}\,</math>
▲Soit <math>H_1, H_Q, H \,</math> les projections orthogonales du point <math>M\,</math> respectivement sur <math>P_1, Q, D\,</math>, on en déduit <math>MH^2 = MH_1^2 + MH_Q^2\,</math>
▲{{Cas d'application|Distance d'un point à un plan}}
=== Équation de plan et déterminant ===
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