« Propriétés métriques des droites et plans » : différence entre les versions

Contenu supprimé Contenu ajouté
Dumontierc (discussion | contributions)
Dumontierc (discussion | contributions)
Annulation des modifications 205466 par Dumontierc (Discuter)
Ligne 143 :
Les plan (P) et (P') sont perpendiculaires si les vecteurs normaux <math>\overrightarrow{N}</math> et <math>\overrightarrow{N'}</math> sont orthogonaux. Ce qui implique <center><math>uu'+vv'+ww' = 0</math></center>
 
=== Distance algébrique d'un point <math>M(x,y,z)</math> à un plan P d'équation <math>ux+vy+wz+h=0</math> ===
Soit H la projeté de <math>M(x,y,z)</math> sur P avec <math>\overrightarrow{HM}</math> orthogonal à P.
 
La droite perpendiculaire à P et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur <math>\scriptstyle \overrightarrow{N}(u,v,w)</math>, on montre que la distance algébrique entre M et P est donnée par :
: <center><math>d_a(H,M) = \frac{ux+vy+wz+h}\sqrt{u^2 + v^2+w^2}</math></center>
En valeur absolue:
<center><math>\|\overrightarrow{HM}\| = \frac{|ux+vy+wz+h|}\sqrt{u^2 + v^2+w^2}</math></center>
 
==== Cas ou la droite est définie par l'intersection de deux plans ====
 
:<math>P_1 = u_1x+v_1y+w_1z+h_1 = 0\,</math>
 
 
:<math>P_2 = u_2x+v_2y+w_2z+h_2 = 0\,</math>
 
 
le plan <math>Q\,</math> perpendiculaire à <math>P_1\,</math> appartient au faisceau de plans <math>P_1 + \lambda P_2= 0\,</math>
 
 
<math>Q\,</math> sera perpendiculaire à <math>P_1\,</math> pour <math>\lambda = \frac{-(u_1^2 + v_1^2+w_1^2)}{u_1u_2+v_1v_2+w_1w_2}\,</math>
 
 
Soit <math>H_1, H_Q, H \,</math> les projections orthogonales du point <math>M\,</math> respectivement sur <math>P_1, Q, D\,</math>, on en déduit <math>MH^2 = MH_1^2 + MH_Q^2\,</math>
 
 
 
{{Cas d'application|Distance d'un point à un plan}}
 
=== Équation de plan et déterminant ===