« Propriétés métriques des droites et plans » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
Aucun résumé des modifications |
|||
Ligne 138 :
Le plan P, passant par <math>M_0(x_0,y_0,z_0)</math> et orthogonal à <math>\scriptstyle \overrightarrow{N}</math>, a donc pour équation : :
:<center><math>u(x-x_0) + v(y-y_0) + w(z-z_0)= 0</math></center>
=== Distance algébrique d'un point <math>M(x,y,z)</math> à un plan P d'équation <math>ux+vy+wz+h=0</math> ===▼
Soit H la projeté de <math>M(x,y,z)</math> sur P avec <math>\overrightarrow{HM}</math> orthogonal à P.▼
La droite perpendiculaire à P et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur <math>\scriptstyle \overrightarrow{N}(u,v,w)</math>, on montre que la distance algébrique entre M et P est donnée par :▼
: <center><math>d_a(H,M) = \frac{ux+vy+wz+h}\sqrt{u^2 + v^2+w^2}</math></center>▼
En valeur absolue: ▼
: <center><math>\|\overrightarrow{HM}\| = \frac{|ux+vy+wz+h|}\sqrt{u^2 + v^2+w^2}</math></center>▼
{{Cas d'application|Distance d'un point à un plan}}▼
=== Angles de deux plans ===
Ligne 162 ⟶ 152 :
=== Plans perpendiculaires ===
Les plan (P) et (P') sont perpendiculaires si les vecteurs normaux <math>\overrightarrow{N}</math> et <math>\overrightarrow{N'}</math> sont orthogonaux. Ce qui implique <center><math>uu'+vv'+ww' = 0</math></center>
▲=== Distance algébrique d'un point <math>M(x,y,z)</math> à un plan P d'équation <math>ux+vy+wz+h=0</math> ===
▲Soit H la projeté de <math>M(x,y,z)</math> sur P avec <math>\overrightarrow{HM}</math> orthogonal à P.
▲La droite perpendiculaire à P et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur <math>\scriptstyle \overrightarrow{N}(u,v,w)</math>, on montre que la distance algébrique entre M et P est donnée par :
▲: <center><math>d_a(H,M) = \frac{ux+vy+wz+h}\sqrt{u^2 + v^2+w^2}</math></center>
▲En valeur absolue:
▲: <center><math>\|\overrightarrow{HM}\| = \frac{|ux+vy+wz+h|}\sqrt{u^2 + v^2+w^2}</math></center>
'''Cas ou la droite est définie par l'intersection de deux plans'''
:<math>P_1 = u_1x+v_1y+w_1z+h_1 = 0\,</math>
:<math>P_2 = u_2x+v_2y+w_2z+h_2 = 0\,</math>
:
:le plan <math>Q</math> perpendiculaire à <math>P_1</math> appartient au faisceau de plans '''<math>P_1 + \lambda P_2</math>'''.
:
:<math>Q</math> sera perpedniculaire à <math>P_1</math> pour <math>\lambda = </math>
▲{{Cas d'application|Distance d'un point à un plan}}
=== Équation de plan et déterminant ===
| |||