« Photographie/Mathématiques/Notion d'angle solide » : différence entre les versions

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== Définitions ==
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Le rayonnement d'une source lumineuse ponctuelle se propage dans un cône ayant pour sommet la source elle-même.
 
L''''angle solide''' <math>\Omega \,</math> qui caractérise l'ouverture plus ou moins grande de ce cône peut être évalué à partir de l'aire s de la surface qu'il découpe sur une sphère de rayon R, centrée en S. Plus le cône est ouvert, plus cette aire est grande.
L'unité d'angle solide est le stéradian (sr), c'est-à-dire l'angle solide au centre d'une sphère qui découpe sur cette dernière une surface d'aire égale au carré du rayon.
 
L'unité d'angle solide est le '''stéradian''' (sr), c'est-à-dire l''''angle solide au centre d'une sphère qui découpe sur cette dernière une surface d'aire égale au carré du rayon'''.
La surface d'une sphère étant S = 4  R2, on en déduit que l'angle solide total autour d'un point (ou spat) vaut 4  stéradians.
 
Supposons maintenant que l'œil soit placé au sommet d'un cône de sommet S et d'angle solide . Toutes les surfaces telles que S1, S2, S3 qui s'appuient sur les génératrices du cône sont vues sous le même angle solide.
 
<center><math>\Omega = \frac{s}{R^2}</math></center>
 
 
La surface d'une sphère étant S &nbsp;= &nbsp;4&nbsp;&pi;  R2R<sup>2</sup>, on en déduit que l'angle solide total autour d'un point (ou spat) vaut 4&nbsp;&pi; stéradians.
 
 
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Supposons maintenant que l'œil soit placé au sommet d'un cône de sommet S et d'angle solide <math>\Omega \,</math>. Toutes les surfaces telles que S1S<sub>1</sub>, S2S<sub>2</sub>, S3S<sub>3</sub> qui s'appuient sur les génératrices du cône sont vues sous le même angle solide mais leurs formes et leurs aires peuvent être très différentes.
 
L'expérience personnelle nous permet de reconnaître la forme des objets, avec (ou sans !) l'aide du jeu des lumières et des ombres et de notre vision binoculaire. Le bord d'une assiette vuvue obliquement apparaît commesous la forme d'une ellipse que notre culture visuelle nous fait reconnaître comme un cercle. Cette aptitude manque totalement aux jeunes enfants et parfois les adultes eux-mêmes se font surprendre en regardant un "« trompe-l'œil" ».
 
 
== Bases de calcul ==
 
Ceux qui sont rebelles au mathématiques peuvent sauter ce paragraphe et passer à la [[Photographie - 05 - Grandeurs lumineuses et unités photométriques|suite]].
 
En photométrie, on est souvent amené à évaluer l'angle solide <math>\Omega \,</math> sous lequel on observe une surface S depuis un point O.
 
 
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Image:Stéradian 02.png
 
L'expérience personnelle nous permet de reconnaître la forme des objets, avec (ou sans !) l'aide du jeu des lumières et des ombres et de notre vision binoculaire. Le bord d'une assiette vu obliquement apparaît comme une ellipse que notre culture visuelle nous fait reconnaître comme un cercle. Cette aptitude manque totalement aux jeunes enfants et parfois les adultes eux-mêmes se font surprendre en regardant un "trompe-l'œil".
 
Cornelis GIJBRECHTS,
Reverse Side of a Painting, 1670
En photométrie, on est souvent amené à évaluer l'angle solide  sous lequel on observe une surface S depuis un point O.
 
Si la surface est de forme complexe, on la divise en éléments assez petits pour qu'on puisse les considérer comme plans. La normale N à un élément dS fait un angle  avec la direction d'observation u. La projection de dS sur une sphère fictive de centre O et de rayon OM a pour aire apparente tandis que l'angle solide d sous lequel on voit dS depuis O s'écrit :
 
Bien sûr,  et d dépendent de M puisqu'a priori la surface S n'est pas sphérique. Pour les matheux, l'angle solide total  sous lequel on voit la surface S depuis le point O est la somme de tous les petits angles élémentaires d :
 
 
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