« Photographie/Mathématiques/Découverte des logarithmes » : différence entre les versions

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Ceci posé, les logarithmes possèdent des propriétés remarquables. Nous allons tranquillement en découvrir quelques unes, pour arriver à celle qui nous intéresse au premier chef :
 
 
<center>'''la perception de nos sens est logarithmique !''' </center>
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<center>|'''la perception de nosdes sens humains est logarithmique !''' </center>
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[[Image:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg|thumb|250px|La spirale logarithmique du Nautile]]
 
En plus, nous vivons entourés de logarithmes, si l'on peut dire. La spirale logarithmique, par exemple, se retrouve dans la coquille du Nautile, les fleurs de tournesol, les pommes de pins, l'apex des cactus ou les lames de sécateurs.
 
 
Ecrivons donc :
 
<math>10^{lgAlogA} = A,\quad 10^{lgBlogB} = B</math>
 
et lisons : 10 à la puissance logarithme de grand A égale grand A, ...
Mais que se passe-t-il si nous essayons de multiplier A par B ?
 
<math>A \times B = 10^{lglog(A \times B)} = 10^{lgAlogA} \times 10^{lgBlogB} = 10^{(lgAlogA+lgBlogB)} \,</math>
 
 
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| par conséquent <math>lglog(A \times B) = lgAlogA + lgBlogB \,</math>
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<center><math>lglog\,2 = 0,30103 \approx 0,3 \,</math></center>
 
 
En fait tout nombre A peut être mis sous la forme du produit d'un nombre a compris entre 0 et 9,99999...par une puissance de 10. Prenons le nombre 20 par exemple :
 
20 = 2 &times; 10 = 10<sup>lglog 20</sup> = 10<sup>lglog (2&times;10)</sup>
 
20 = 10<sup>lglog 2</sup> &times; 10<sup>lglog 10</sup> = 10<sup>(lglog 2 + lglog 10)</sup>
 
20 = 10<sup>(lglog 2 + 1)</sup>
 
donc lglog 20 = lglog 2 + 1 = 0,3 + 1 = 1,3
 
 
ou encore 0,000831 = 8,31 &times; 10<sup>-4</sup>
 
lglog A = lglog (a &times; 10<sup>n</sup>) = lglog a + lglog 10<sup>n</sup> = lglog a + n
 
 
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|<math>lglog\,(a \times 10^n) = lglog\,a + n \,</math>
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<math>lglog \,2000 = 0,3 + 3 = 3,3 </math>
 
<math>lglog \,20 = 0,3 + 1 = 1,3 </math>
 
<math>lglog \,2 = 0,3 + 0 = 0,3 </math>
 
<math>lglog \,0,2 = 0,3 - 1 = -0,7 = \bar{1},3 </math>
 
<math>lglog \,0,00002 = 0,3 - 5 = -4,7 = \bar{5},3 </math>
 
 
 
 
'''Remarque :''' Nous venons de définir ici les '''logarithmes décimaux''' ou logarithmes à base 10 en écrivant :
Voici quelques décennies, les règles à calcul donnaient par simple lecture des valeurs approchées des logarithmes. Les valeurs plus précises étaient tirées de "tables" imprimées. Celles des "taupins" étaient des livres de quelques centaines de pages, tandis que celles des astronomes trônaient à portée de main sur les rayonnages. Des centaines de milliers de nombres calculés à la main, un travail colossal, avec parfois des erreurs.
 
<math>10^{logA} = A \,</math>
 
En fait, au lieu de 10, nous aurions pu prendre comme base n'importe quel autre nombre N positif, il existe d'autres sortes de logarithmes :
 
<math>N^{log_N B} = B</math>
 
La base est précisée en indice lorsqu'elle n'est pas égale à 10, sauf pour les logarithmes népériens pour lesquels la base est le nombre irrationnel e = 2,71828 et qui se notent « ln ». Par exemple, log<sub>2</sub> x est le logarithme à base 2 du nombre x. Des formules de conversion permettent de calculer les logarithmes quelle que soit leur base.
 
 
Voici quelques décennies, les règles à calcul donnaient par simple lecture des valeurs approchées des logarithmes décimaux. LesDes valeurs plus précises étaient tirées de "tables" imprimées. Celles des "taupins" étaient des livres de quelques centaines de pages « seulement », tandis que celles des astronomes étaient d'énormes volumes qui trônaient à portée de main sur les rayonnages. Des centaines de milliers de nombres calculés à la main, un travail colossal, avec parfois des erreurs.
 
De nos jours les calculatrices de poche ou les ordinateurs accomplissent ces calculs en moins de temps qu'il n'en faut pour l'écrire !