« Photographie/Mathématiques/Puissances et racines des nombres » : différence entre les versions

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== Formulaire ==
 
* produit de puissances : <math>a^m\times{a}^{n}=a^{m+n} \,</math>
 
* quotient de puissances : <math>\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \,</math> pour tout <math>a \,</math> non nul
 
* puissance d'une puissance : <math>(a^m)^n=a^{m\times{n}} \,</math>
 
* puissance d'une produit : <math>(a\times b)^n= a^n\times b^n \,</math>
 
* puissance d'un quotient : <math>\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}</math> pour tout <math>b \,</math> non nul
 
* produit d'une puissance par son inverse : <math>a^n\times{a}^{-n}={a^n}\times\frac{1}{a^n}=\frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^0=1</math>.<br />
 
{{EnTravaux}}
 
 
<br />
Ces formules sont encore valables si ''m'' et/ou ''n'' sont des entiers strictement négatifs à condition que '''a''', comme '''b''', soit non-nul.<br />
On remarque que la convention « '''a'''<sup>0</sup> = 1 pour tout nombre réel non nul '''a''' » est cohérente avec ces formules ; en effet, pour tout entier naturel ''n'' non nul et pour tout nombre réel '''a''' non nul ''':'''<br />
<math>a^n\times{a}^{-n}=a^{n+(-n)}=a^{n-n}=a^0</math> <br />et <br />
<math>a^n\times{a}^{-n}={a^n}\times\frac{1}{a^n}=\frac{a^n}{a^n}=1</math>.<br />
On remarquera qu'en prenant ''n'' = 0, les égalités précédentes restent vraies.<br />
 
 
 
Puissances de dix
Les puissances de 10 sont des [[Tallahassee|cas particuliers]] de puissances. Leur intérêt réside dans le fait que notre écriture est [[Système décimal|décimale]].
 
Si la virgule signale la position des unités dans l'écriture d'un
[[nombre décimal (mathématiques élémentaires)|nombre décimal]], multiplier par 10 revient à déplacer la virgule d'un rang vers la droite et diviser par 10 revient à déplacer la virgule d'un rang vers la gauche. Donc, multiplier par 10<sup>n</sup> pour tout n entier positif, revient à déplacer la virgule de n rangs vers la droite et diviser par 10<sup>n</sup> pour tout n entier positif, revient à déplacer la virgule de n rangs vers la gauche. Ainsi
 
*325,72×10 = 3257,2
*325,72/10 = 32,572
*325,72×10<sup>5</sup> = 32572000
*325,72/10<sup>5</sup> = 0,0032572
 
Les propriétés énoncées sur les puissances de ''a'' restent valables pour les puissances de 10.
 
L'utilisation des puissances de 10 intervient
*dans l'écriture explicite en base 10 :
 
:325,72 = 3×10<sup>2</sup> + 2×10 + 5 + 7×10<sup>-1</sup> + 2×10<sup>-2</sup>
 
*dans l'écriture scientifique des nombres décimaux :
:325,72 = 3,2572×10<sup>2</sup>
 
où le nombre est écrit comme le produit d'un nombre compris entre 1
et 10 avec une puissance de 10
 
*et dans la notation ingénieur :
:325,72 = 325,72
:32572 = 32,572×10<sup>3</sup>
 
où le nombre est écrit comme produit d'un nombre compris entre 1 et 1000 avec une puissance de 10 dont l'exposant est un multiple de 3.