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« Photographie/Mathématiques/Puissances et racines des nombres » : différence entre les versions

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<math>\frac{10^5}{10^3} = \frac{100 000}{1 000} = 100 = 10^2 = 10^{5-3}</math>
 
{{EnTravaux}}▼
 
<math>\frac{10^2}{10^5} = \frac{100}{100 000} = 10^{2-5} = 10^{-3} = \frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3}</math>
 
 
Notons au passage que
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
et retenons que
|-
| Notons au passage que <math>a^{-n} = \frac{1}{a^n}</math> <br>
 
et retenons que <math>\frac{a^m}{a^n} = a^m \times a^{-n} = a^{m-n}</math>
|-
|}
 
 
Nous pouvons désormais écrire toutes les puissances d'un nombre, par exemple 10, sous une forme unique :
 
...
 
103 = 1 000
10<sup>3</sup> = 1 000 <sup></sup>
102 = 100
 
101 = 10
10<sup>2</sup> = 100
100 = 1
 
10-1 = 1 / 10 = 0,1▼
10-2 = <sup>1 </ 100sup> = 0,0110
 
10-3 = 1 / 1 000 = 0,001▼
10<sup>0</sup> = 1
 
▲10<sup>-1</sup> = 1 / 10 = 0,1
 
10<sup>-2</sup> = 1 / 100 = 0,01
 
▲10<sup>-3</sup> = 1 / 1 000 = 0,001
 
...
 
Cherchons enfin à calculer la puissance d'une puissance :▼
 
Puissance== Puissances à exposant nul ==▼
 
Pour tout nombre réel '''a''' non nul, on pose par convention que '''a'''<sup>0</sup> = 1.<br />▼
Il en résulte que ▼
 
Dans la plupart des cas on admet que c'est vrai également pour ''a'' = 0, et donc que 0<sup>0</sup> = 1 mais dans certaines circonstances on doit considérer que 0<sup>0</sup> est un nombre indéfini.
Par exemple :▼
(23)2 = 82 = 64 = 23x2 = 26▼
 
Cette dernière formule nous permet de noter autrement les racines d'un nombre, car si les exposants sont tels que m = 1/n, il en résulte que mn = 1 et l'on peut alors écrire :▼
 
a1/n n'est autre que la racine nième de a,▼
 
d'où ▼
 
▲{{EnTravaux}}
Par exemple : ▼
 
 
 
On introduit ensuite les puissances d'exposant entier strictement négatif d'un nombre réel non nul, inverses des puissances d'exposant entier strictement positif de ce nombre réel.<br />
<br />
Par exemple &nbsp;''':''' &nbsp;si '''a''' est un nombre réel non nul, <math>a^{-3}=\frac{1}{a^3}</math> . <br /> <br />
Les opérations algébriques sur les puissances d'un nombre ou de plusieurs possèdent des propriétés particulières. Les puissances de dix, comme 10<sup>-5</sup>, sont d'une utilisation régulière dans les autres [[science]]s, notamment en [[physique]] et en [[chimie]].
 
 
▲Cherchons enfin à calculer la puissance d'une puissance :
 
Puissance à exposant positif
 
▲Il en résulte que
On considère un nombre '''a''' quelconque et un [[nombre entier (mathématiques élémentaires)|entier naturel]] ''n'' non nul. La puissance énième de '''a''', notée '''a'''<sup>''n''</sup> et lu « '''a''' puissance ''n'' », est le résultat de la multiplication de ce nombre '''a''' par lui-même ''n'' fois :<br />
<center>'''a'''<sup>''n''</sup> = '''a''' × '''a''' ×...× '''a''', ''n'' fois.</center>
''n'' est appelé l'exposant de la puissance '''a'''<sup>''n''</sup>.<br />
''n'' étant un nombre positif, car entier naturel, '''a'''<sup>''n''</sup> est une puissance à exposant entier positif de '''a'''.<br />
On notera que '''a'''<sup>1</sup> = '''a'''.<br />
On appelle '''a'''<sup>2</sup> la puissance carrée, ou le carré, de '''a'''.<br />
On appelle '''a'''<sup>3</sup> la puissance cubique, ou le cube, de '''a'''.<br />
Attention, une puissance à exposant positif n'est pas forcément un nombre positif ; par exemple (- 2)<sup>3</sup>, puissance cubique de - 2, est bien une puissance à exposant positif, car l'exposant 3 est un entier naturel, mais (-2)<sup>3</sup>=(-2)×(-2)×(-2)=-8<0.<br />
On remarque facilement que quelque soit l'entier naturel ''n'' non nul, 0<sup>''n''</sup> = 0.<br />
 
▲Par exemple :
▲(23)2 = 82 = 64 = 23x2 = 26
 
▲Cette dernière formule nous permet de noter autrement les racines d'un nombre, car si les exposants sont tels que m = 1/n, il en résulte que mn = 1 et l'on peut alors écrire :
 
▲a1/n n'est autre que la racine nième de a,
 
▲d'où
▲Puissance à exposant nul
 
▲Par exemple :
 
▲Pour tout nombre réel '''a''' non nul, on pose par convention que '''a'''<sup>0</sup> = 1.<br />
 
Dans certains contextes il est utile et acceptable de poser que c'est vrai également pour ''a'' = 0. Par exemple, pour que le polynôme ''X''<sup>0</sup> représente bien la fonction constante de valeur 1. De même, dans le cadre de la [[théorie axiomatique des ensembles]] et des [[nombre cardinal|nombres cardinaux]] on peut montrer que 0<sup>0</sup> = 1.
 
Dans d'autres contextes 0<sup>0</sup> est un nombre indéfini.
 
 
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