« Photographie/Mathématiques/Puissances et racines des nombres » : différence entre les versions

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En mathématiques, la notion de puissance est un cas particulier de celle de produit : par exemple le produit '''a''' × '''b''' × '''c''' est obtenu en multipliant les nombres '''a''', '''b''' et '''c'''.
 
 
== Puissances à exposant entier ==
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|}
 
 
 
== Produits de puissances ==
 
Cherchons à calculer le produit de puissances différentes d'un même nombre :
 
<math>a^m \times a^n = \underbrace {a \times a \times ... a}_{m fois} \times \underbrace {a \times a \times ... a}_{n fois} = \underbrace {a \times a \times ... a}_{m+n fois} = a^{m+n}</math>
 
 
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
| Retenons que <math>a^m \times a^n = a^{m+n} \,</math>
|-
|}
 
 
Par exemple :
10<sup>2</sup> × 10<sup>3</sup> = 100 × 1 000 = 100 000 = 10<sup>5</sup> = 10<sup>2+3</sup>
 
 
== Quotient de puissances ==
 
Calculons maintenant le quotient de puissances différentes d'un même nombre:
 
<math>\frac{a^m}{a^n} = \frac{\overbrace {a \times a \times ... a}^{m fois}}{\underbrace {a \times a \times ... a}_{n fois}} = a^{m-n}</math>
 
 
Si m > n, l'exposant est positif,
 
si m = n, l'exposant est nul et le rapport vaut 1
 
si m < n, l'exposant est négatif.
 
 
Par exemple :
 
 
{{EnTravaux}}
 
 
Notons au passage que
et retenons que
 
 
Nous pouvons désormais écrire toutes les puissances d'un nombre, par exemple 10, sous une forme unique :
...
103 = 1 000
102 = 100
101 = 10
100 = 1
10-1 = 1 / 10 = 0,1
10-2 = 1 / 100 = 0,01
10-3 = 1 / 1 000 = 0,001
...
 
Cherchons enfin à calculer la puissance d'une puissance :
 
 
Il en résulte que
 
Par exemple :
(23)2 = 82 = 64 = 23x2 = 26
 
Cette dernière formule nous permet de noter autrement les racines d'un nombre, car si les exposants sont tels que m = 1/n, il en résulte que mn = 1 et l'on peut alors écrire :
 
a1/n n'est autre que la racine nième de a,
 
d'où
 
Par exemple :