« Tribologie/Contacts localisés » : différence entre les versions
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Il s'agit maintenant de charger la zone de contact et de voir comment elle va se déformer pour aboutir à une répartition des pressions compatible avec les caractéristiques des matériaux.
Nous noterons ici E<sub>1</sub> et E<sub>2</sub> les [[w:fr:module de Young|modules]] d'[[w:fr:Thomas Young|Young]] des matériaux constituant les deux pièces (1) et (2), tandis que ν<sub>1</sub> et ν<sub>2</sub> sont leurs [[w:fr:coefficient de Poisson|coefficients]] de [[w:fr:Siméon Denis Poisson|Poisson]].
Il est commode de déterminer une fois pour toutes deux valeurs k<sub>1</sub> et k<sub>2</sub> qui sont d'utiles intermédiaires de calcul :
<math>k_1=\frac{1-\nu_1^2}{\pi E_1}</math> et <math>k_2=\frac{1-\nu_2^2}{\pi E_2}</math>
Les valeurs de k correspondant à divers matériaux sont données dans un tableau en annexe.
P sera la charge normale agissant sur le contact. Si ce dernier est linéique, nous considérerons alors la charge par unité de longueur q.
La méthode générale utilisée pour cette étude consiste à envisager comment des points tels que M<sub>1</sub> et M<sub>2</sub>, que nous avons utilisés précédemment, peuvent se rapprocher et le cas échéant, venir au contact l'un de l'autre.
=== L'ellipse de contact ===
Nous faisons ici l'impasse sur les calculs de Hertz pour n'en présenter que les principaux résultats.
* la zone de contact est, conformément aux hypothèses, un petit élément plan de forme elliptique et supportant des pressions qui décroissent à partir du centre, que nous appellerons désormais O, pour s'annuler à la périphérie.
* le grand diamètre de cette ellipse, de longueur 2a, est porté par un axe Ox situé dans le plan (P") contenant la courbure minimale de la surface fictive (S) précédemment définie, tandis que le petit diamètre, de longueur 2b est porté par un axe Oy situé dans le plan (P') de plus forte courbure de (S).
[[Image:Hertz.png|250px|right]]
La pression de contact est répartie selon un demi-ellipsoïde construit sur l'ellipse de contact. Elle atteint au centre sa valeur maximale, dite parfois « pression hertzienne » :
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
<math>p_m= \frac{3}{2} \frac{P}{\pi a b}</math>
|-
|}
Nous reconnaissons au passage le produit π a b qui n'est autre que la surface de l'ellipse. En un point quelconque de celle-ci, défini par ses coordonnées x et y, la pression vaut :
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
<math>p(x,y) = p_m \sqrt[3]{1-\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}}</math>
|-
|}
| |||